算法分析与设计实验——汉诺塔

汉诺塔问题

假定A、B、C三根柱子。现将A柱上n个圆盘移动到C柱上，一次移动一个盘子，且每个盘子上必不能放比它大的盘子。因可以借助中间柱完成移动，目标柱仅为C柱，因此在本题中A柱与B柱本质上是等价的，它们可以互相作为对方的中间柱。据此可以运用问题降阶的思想。已知仅有1个盘子时，就只需将其从A柱直接移动到C柱，那么假定起始为4个盘子的情况下，可以利用中间柱将最大的盘子移到目标柱后，降为3阶问题，再以此类推，最后化为1个盘子的状态。因此运用递归写法。C++代码如下：

#include 
using namespace std;
int t=0;
void Hanoi(int x,char a,char b,char c){ //将x个盘子从a柱开始，以b为中间柱，移动到c柱
    if(x==0) return;
    Hanoi(x-1,a,c,b);
    cout<<"Step "< "<>n;
    Hanoi(n,'A','B','C');
    return 0;
}

通过函数内前三行代码：

if(x==0) return;	（1）
Hanoi(x-1,a,c,b);	（2）
cout<<"Step "< "<

将除了最大盘子外所有盘子移动到中间柱（此后A、B互为中间柱），并将最大盘子移动到C，完成问题降阶，并打印移动步骤，例如，3阶汉诺塔情况下，将最大盘子移动到C柱后，剩余两个盘子在B柱，相当于以B柱为起始，A为中间柱，将两个盘子移动到C柱，以此类推进行降阶。到达最低阶时（x-1==0），函数返回，停止降阶。

随后通过代码：

Hanoi(x-1,b,a,c);	（4）

将剩余盘子全部移动到C柱上。因为在代码（2）和（3）中，已经通过递归将问题降阶到1阶，代码（4）完成了降阶后剩余移动步骤的打印。

三阶、四阶、五阶汉诺塔问题代码运行结果如下：

 

根据问题可以得到，假定输入为n，设移动步骤为F（n）。将除最大盘之外所有盘移动到中间柱的步骤需要F（n-1）步，随后移动最大盘完成问题降阶需要1步，再将剩余盘移动到目标柱需要F（n-1）步。且n为1时，有F（1）=1，由此可得递推式：

F（n）=2*F（n-1）+1

F（1）=1

利用待定系数法，设F（n）+1=2*（F（n-1）+1），解得通项公式F（n）=2^n-1，可知该递归算法时间复杂度为O（2^n）