微积分、概率和线性代数，分别在机器学习中扮演了什么角色？
张雨萌
清华大学硕士毕业
机器学习书籍作者
人工智能领域吸引了许多有志者投身其中，也有许多非科班出身或从其他行业切换赛道转行而来的朋友。大家在学习的过程中经常会感觉学习曲线陡峭、难度较大，而机器学习之所以这么难，首要原因就是觉得数学知识需要得太多了！
数学体系非常庞大，但实际上，机器学习真正用得到的只占据了其中「很小的一部分」。学机器学习的数学，只要你具备高等数学的初级能力就可以。
一位外国网友在自学人工智能的100天期间，记录了自己的学习感受：
「人工智能没有魔法，一切只有数学。」
“在开始100天的学习之前，我就知道机器学习与数学有关，只是不知道关系有多大。对任何一个个入门者来说，学习微积分和线性代数都是非常有帮助的。而且幸运的是，不是数学专业的人也能够掌握的了这些知识，而且随着各种框架的进程和发展，机器学习全民化进程正在不断推进中。”
来源：https://medium.com/swlh/
机器学习是一个综合性强、知识栈长的学科，当然也需要大量的前序知识作为铺垫。其中最核心的就是：绝大多数算法模型和实际应用都依赖于以概率统计、线性代数和微积分为代表的数学理论和思想方法。
比方说吧：
想理解神经网络的训练过程，离不开多元微分和优化方法；
想过滤垃圾邮件，不具备概率论中的贝叶斯思维恐怕不行；
想试着进行一段语音识别，则必须要理解随机过程中的隐马尔科夫模型；
想通过一个数据样本集推测出这类对象的总体特征，统计学中的估计理论和大数定理的思想必须得建立。
所以说，数学基础是机器学习绕不开的重要阵地。
01
机器学习中，三部分数学知识各自扮演什么角色？
1. 概率统计是利用数据发现规律、推测未知的思想方法
「发现规律、推测未知」也正是机器学习的目标，所以两者的目标高度一致。机器学习中的思想方法和核心算法大多构筑在统计思维方法之上。
2. 线性代数是利用空间投射和表征数据的基本工具
通过线性代数，我们可以灵活地对数据进行各种变换，从而直观清晰地挖掘出数据的主要特征和不同维度的信息。整个线性代数的主干就是空间变换，从构筑空间、近似拟合、相似矩阵、数据降维这四大板块，环环相扣地呈现出与机器学习算法紧密相关的最核心内容。
3. 微积分与最优化是机器学习模型中最终解决方案的落地手段
当我们建立好算法模型之后，问题的最终求解往往都会涉及到优化问题。在探寻数据空间极值的过程中，如果没有微分理论和计算方法作为支撑，任何漂亮的模型都无法落地。
因此，夯实多元微分的基本概念，掌握最优化的实现方法，是通向最终解决方案的必经之路。
02
机器学习中使用最多的线性代数有什么用？
作为利用空间来投射和表征数据的基本工具，线性代数可以灵活地对数据进行各种变换，从而让研究人员更为直观、清晰地探查到数据的主要特征和不同维度所需的信息。因此，线性代数的核心地位不言而喻，只有熟练运用好这个工具，才能搭建起攀登机器学习的牢固阶梯。
机器学习和数据分析中究竟会有哪些地方需要用到线性代数？
举例来说：
量化描述日常生活中的事物，比如个体的不同属性、自然语言中的词语、句子等等，用于支撑我们所要进行的算法分析；
将待处理的数据在不同维度的空间中进行变换处理，以找到最佳的观测角度，使得数据处理达到最好效果；
从采样的海量数据中提取出主要特征成分，梳理出数据的主要脉络，从而指导你对一个文本进行主题建模，帮助你利用协同过滤技术成功给用户推荐最喜爱的菜肴；
用数字表示图像，并且在不太影响观察效果的前提下，利用很小的存储空间近似达到原有图像的视觉效果；
对采集到的观测数据进行拟合，帮助我们找到其中暗含的规律，指导对未知数据的预测；
在实际的数据采样分析过程中，在无法找到精确解的情况下，探索到最接近真相的近似解；
这些实用而有趣的问题，我们在数据分析和机器学习中几乎时时都会遇到。
而想要解决好这些问题，线性代数的核心概念和思想方法都是必须要牢固掌握的，也正是我撰写《机器学习中的数学》这个专栏的目的所在。
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专栏亮点
围绕主要脉络，贯穿整个学科：紧紧围绕空间变换这个线性代数的主要脉络，深刻理解如何用空间表示数据、用空间处理数据、用空间优化数据，用一条线索贯穿整个学科的主干内容。
聚焦四大纬度，筑牢知识体系：从构筑空间、空间投影、矩阵特征、数据降维四大维度，围绕核心，聚焦重点，筑牢与机器学习紧密相连的线性代数知识体系。
使用 Python 工具，无缝对接工程：教你用熟、用好 NumPy、SciPy、Matplotlib、Pandas 等工具库，无缝对接工程实践应用。
理论结合实践，加深思想理解：大量实战案例与完整详细源码，不断加深对线性代数思想的深刻理解。
专栏的整体设计思路
贯穿整个线性代数的主干是空间变换，我们将从构筑空间、空间投影、矩阵特征、数据降维这四大纬度，聚焦线性代数与机器学习算法结合最紧密的核心内容。
第 1 部分：构筑空间。这一部分我们将从空间坐标表示与线性变换入手，快速建立线性代数的直观感受，理解向量和矩阵运算的几何意义。同时探索空间——这个线性代数的概念基石，理解空间中的映射和变换的本质，深入学习矩阵在其中的灵魂作用。
第 2 部分：空间投影。这一部分我们将从空间投影的现象入手，将理论和工程进行紧密结合，掌握线性代数在近似与拟合中的理论基础，学习最小二乘法的原理与实际应用，并实践线性拟合、无解方程组的近似解问题。
第 3 部分：矩阵特征。这一部分是矩阵分析的核心重点，我们需要深刻领会矩阵相似性的几何意义以及特征值、特征向量的提取方法，用以打好数据降维的理论基础。
第 4 部分：数据降维。这一部分是整个线性代数知识脉络的交汇点，可以说是矩阵分析中最为精彩的地方。利用前面打下的概念基础，我们将深入地学习特征值分解和奇异值分解的方法，并利用这些工具进行数据的压缩和降维，实现对样本数据的主成分分析。
专栏知识导图如下： 
万丈高楼平地起，希望《机器学习中的数学》系列专栏能陪伴大家走好机器学习的学习与实践的必经之路、梳理纷繁复杂的知识网络、构筑好算法模型的数学基础。更重要的是，我希望我们能一起形成一种思维习惯：源于理论，我们条分缕析；面向实践，我们学以致用。 有了扎实的数学理论和方法基础，相信同学们都能登高望远、一往无前。
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