莫比乌斯函数学习笔记

(1)
定义
e(n)=⟮1 n=10 n≠1
I(n)=1
id(n)=n
σ0(n)因子个数
σ1(n)因数和
μ(n)莫比乌斯函数
φ(n)欧拉函数
(2)
狄利克雷卷积
h(n)=∑d|nf(d)g(nd)
h=f∗g
(3)
定义
μ(n)=⟮(−1)s1+⋯+sm n=ps11…psmms1=⋯=sm=10
特别的 μ(1)=1

∑d|nμ(d)=e(n)
(4)
1.由 g(n)=∑d|nf(d) 可得 f(n)=∑d|nμ(nd)g(d)
2.由 g(n)=∑n|df(d) 可得 f(n)=∑n|dμ(dn)g(d)
对于2.证明：
∑n|dμ(dn)g(d)=∑n|dμ(dn)∑d|xf(x)
∑n|dμ(dn)∑d|xf(x)=∑n|xf(x)∑n|d且d|xμ(dn)
∑n|xf(x)∑n|d且d|xμ(dn)=∑n|xf(x)∑d|xnμ(d)=f(n)
(5)
g=f∗I 则 f=g∗μ
(6)
∑d|nφ(d)=n
(7)
f(ab)=f(a)f(b)       gcd(a,b)==1
可得f为积性函数
(8)
φ=μ∗id
φ(n)=∑d|nμ(d)nd
(9)
n√分段求∑ni=1[ni]
[[na]b]=[nab]

例如： 1到n有点多少数可以表示为xk