二重积分和雅可比行列式

我们以二重积分为例进行说明，首先说结论：

一、结论

若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数，则二阶雅可比行列式为 =  =

dxdy = |J2| dudv,  (J2的绝对值),且

其中积分区域和积分区域是一一对应的。

二、理解

二重积分的定义中指出，将积分区域任意分割成n个小的闭区域:

Δσ1, Δσ2, …, Δσn,

其中Δσi表示第i个小闭合区域的面积，在闭合区域上取一点(ξi, ηi), 这一点的函数值与区域Δσi的乘积的总和为，若当各小闭合区域的直径中的最大值λ→0时，这个和的极限总存在，且与区域Dxy的分法及点(ξi, ηi)的取法无关，那么函数f(x, y)在区域Dxy上的二重积分记做：

dσ为小闭合区域的面积，假设我们将Dxy分隔为一个一个小矩形区域，每一小块积分区域Δσi 在uv坐标系中都对应一块积分区域Δσi'，它们是一一对应的，并且Δσi=|J2|Δσi'，|J2| 是雅可比行列式的绝对值，可能是常量，但一般情况下是一个变量，所以我们可以保证以下等式成立：

在xy坐标系中第i块积分区域上任取一点(ξi, ηi)，都能在uv坐标系中的第i块积分区域中找到一点(ξi',ηi')，并满足，另外我们知道，所以上述等式成立，那么对上述等式做累加，也固然成立，即：

'

故，两边取极限，二重积分也就相等，即一中结论成立。

下面我们主要说明为什么，dxdy = |J2| dudv：

解释1

首先我们应该怎么理解dxdy，在xy坐标系中，dx和dy可以看成是小矩形的长和宽，它们相互垂直，dxdy可以简单的理解为两个标量相乘求面积，用来代替Δσi，但是在uv坐标系中，du和dv相互垂直，但是dx和dy代表的是一个平行四边形的两条边，并不垂直，，，显然它们并不一定垂直，那么在uv坐标系中我们不能讲dxdy简单的两个标量相乘，而是应该理解为两个向量叉乘所得向量的模（面积）：

                     图一：

                                                 
两边取模，dxdy = |J2|dudv

https://www.zhihu.com/question/274450639，

另外也可以参考MIT的微积分课程：

https://open.163.com/movie/2010/8/G/2/M6TUC9K75_M6TUID0G2.html，

18课24分钟，更简单的描述过程。

其实在xy坐标系中我们也可以将dxdy理解为向量叉乘的模，只不过他们夹角是90度，所以等于标量乘积。

注：以上描述非常可能是错误的，并没有参考正规资料，只是一个知乎网友提供的描述（见上述链接），我并不确定是否能把dxdy、dudv写成向量的形式，所以请批判性的参考，而且，我无法解释为什么最终du dv两个向量取模没有乘以其夹角的正弦值，如果上述是完全是错误的那么我们只能用面积比值强行解释了：

解释2

参考：https://wenku.baidu.com/view/f56aa732b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de8b

我们将积分区域Dxy按照上图右进行划分成N多个小块，根据微积分的定义，计算结果和微分方式无关，所以我们把它为分成这种扭曲的方式，每一个扭曲的小块一一对应uv坐标系中每一个规则的矩形，切他们的面积比值为|J|，也就是dA = |J|dudv

由于积分的计算结果与积分区域的划分方式无关，所以，其中，即

 

 

 

以下是上上次编辑此篇博客时留下的，但是没有图，可以忽略。

下面通过 直观的解释来理解为什么，dxdy = |J2| dudv， 我们取积分区域里面的一点（x, y）那么在uv坐标系下与之对应的一点为（u, v），, ，很显然 (x, y)到(u, v)的坐标变换不是线性的，但是在积分区域的某一个具体点  的很小的一个范围内，可以近似线性的，  因为其偏导数几乎不变，我们可以把、、和看成是常数，那么在(x, y)这一点附近的很小区域内，进行的坐标变换就可以看做是线性变换，  (x, y) 附近的积分区域， 经过坐标变换后，面积将改变，变换前后面积的比值即是，雅可比行列式的值，（动图待制作）