二重积分和雅可比行列式

我们以二重积分为例进行说明,首先说结论:

一、结论

若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数,则二阶雅可比行列式为 =  =

dxdy = |J2| dudv,  (J2的绝对值),且

其中积分区域和积分区域是一一对应的。

二、理解

二重积分的定义中指出,将积分区域任意分割成n个小的闭区域:

Δσ1, Δσ2, …, Δσn,

其中Δσi表示第i个小闭合区域的面积,在闭合区域上取一点(ξi, ηi), 这一点的函数值与区域Δσi的乘积的总和为,若当各小闭合区域的直径中的最大值λ→0时,这个和的极限总存在,且与区域Dxy的分法及点(ξi, ηi)的取法无关,那么函数f(x, y)在区域Dxy上的二重积分记做:

dσ为小闭合区域的面积,假设我们将Dxy分隔为一个一个小矩形区域,每一小块积分区域Δσi 在uv坐标系中都对应一块积分区域Δσi',它们是一一对应的,并且Δσi=|J2|Δσi',|J2| 是雅可比行列式的绝对值,可能是常量,但一般情况下是一个变量,所以我们可以保证以下等式成立:

在xy坐标系中第i块积分区域上任取一点(ξi, ηi),都能在uv坐标系中的第i块积分区域中找到一点(ξi',ηi'),并满足,另外我们知道,所以上述等式成立,那么对上述等式做累加,也固然成立,即:

'

故,两边取极限,二重积分也就相等,即一中结论成立。

下面我们主要说明为什么dxdy = |J2| dudv:

解释1

首先我们应该怎么理解dxdy,在xy坐标系中,dx和dy可以看成是小矩形的长和宽,它们相互垂直,dxdy可以简单的理解为两个标量相乘求面积,用来代替Δσi,但是在uv坐标系中,du和dv相互垂直,但是dx和dy代表的是一个平行四边形的两条边,并不垂直,,显然它们并不一定垂直,那么在uv坐标系中我们不能讲dxdy简单的两个标量相乘,而是应该理解为两个向量叉乘所得向量的模(面积):

                     图一:二重积分和雅可比行列式_第1张图片

                                                 
两边取模,dxdy = |J2|dudv

https://www.zhihu.com/question/274450639,

另外也可以参考MIT的微积分课程:

https://open.163.com/movie/2010/8/G/2/M6TUC9K75_M6TUID0G2.html,

18课24分钟,更简单的描述过程。

其实在xy坐标系中我们也可以将dxdy理解为向量叉乘的模,只不过他们夹角是90度,所以等于标量乘积。

注:以上描述非常可能是错误的,并没有参考正规资料,只是一个知乎网友提供的描述(见上述链接),我并不确定是否能把dxdy、dudv写成向量的形式,所以请批判性的参考,而且,我无法解释为什么最终du dv两个向量取模没有乘以其夹角的正弦值,如果上述是完全是错误的那么我们只能用面积比值强行解释了:

解释2

二重积分和雅可比行列式_第2张图片

参考:https://wenku.baidu.com/view/f56aa732b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de8b

我们将积分区域Dxy按照上图右进行划分成N多个小块,根据微积分的定义,计算结果和微分方式无关,所以我们把它为分成这种扭曲的方式,每一个扭曲的小块一一对应uv坐标系中每一个规则的矩形,切他们的面积比值为|J|,也就是dA = |J|dudv

由于积分的计算结果与积分区域的划分方式无关,所以,其中,即

 

 

 

以下是上上次编辑此篇博客时留下的,但是没有图,可以忽略。

下面通过 直观的解释来理解为什么dxdy = |J2| dudv, 我们取积分区域里面的一点(x, y)那么在uv坐标系下与之对应的一点为(u, v),,很显然 (x, y)到(u, v)的坐标变换不是线性的,但是在积分区域的某一个具体点  的很小的一个范围内,可以近似线性的,  因为其偏导数几乎不变,我们可以把看成是常数,那么在(x, y)这一点附近的很小区域内,进行的坐标变换就可以看做是线性变换,  (x, y) 附近的积分区域, 经过坐标变换后,面积将改变,变换前后面积的比值即是,雅可比行列式的值,(动图待制作)

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