子数组之和的最大值

 

《编程之美》里面对求一维，二维的都进行了讲解。
1、一维中用动态规划可以使时间复杂度降到O(n).
   思想：考虑数组中A[0]，与最大的一段数组（A[i],...A[j]）的关系
         （1）、当0=i=j时，元素A[0]本身构成最大的一段
         （2）、当0=i          （3）、当0    假设已经知道（A[1],...A[n-1]）中和最大的一段数组之和为All[1],并且已经知道（A[1],...,A[n-1]）中包含A[1]的和最大一段为start[1],那么A[0]到A[n-1]中和最大的一段为max（A[0],A[0]+start[1],All[1]）
  
   动态规划总是这样，分析最后的结果，然后累加中间步骤的小结果们。

int max(int x,int y){
    return (x > y) ? x : y;
}
int maxSum(int* A, int n){
    start[n-1] = A[n-1];
    All[n-1] = A[n-1];
    for(i = n-2; i>=0; i--){
        start[i] = max(A[i], A[i]+start[i+1]);
        all[i] = max(start[i],all[i+1]);
    }
}   return all[0];

int max(int x,int y){
    return (x > y) ? x : y;
}
int maxSum(int* A, int n){
    start[n-1] = A[n-1];
    All[n-1] = A[n-1];
    for(i = n-2; i>=0; i--){
        start[i] = max(A[i], A[i]+start[i+1]);
        all[i] = max(start[i],all[i+1]);
    }
}   return all[0];

2、二维中，假设已经确定了矩形区域的上下边界，比如知道矩形区域的上下边界分别是第a行和第c行，现在要确定左右边界。

转化为一个一维问题，可以把每一列中第a行和第c行之间的元素看成一个整体。即求数组(BC[1],...BC[M])中和最大的一段，其中B[i] = B[a][i]+...B[c][i].

3、扩展问题;如果是三维数组呢？
我的问题是如果是高维数组呢？

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其实不管多高维，都可以用二维数组的解法来解，三维数组就分解为两个二维平面。。对应于二维中的第a行和第c行，三维中就是第a个平面和第c平面；对应于二维中BC的数组，三维中就是BC平面。。
同样，四维就分为两个三维来做。。。