Problem J – Jumping Frog（0~n-1跳k==跳gcd(n,k)）

原题： https://cn.vjudge.net/problem/Gym-101889J

题意：

0~n-1点一圈，有些点可以跳，有些不可以。现在你可以选一个点为起点，每次跳k，直到回到起点。问有多少个k可以跳回起点。

解析：

证明：0~n-1的圈每次跳k步，如果k，n互质那么会跳过所有点0 ~n-1

跳过的点应该是ak%n（a为倍数），发现只有a=n时也就是跳到lcm(k,n)=k*n的时候才会回到起点，那么途中经过n个点，因为所有点无循环即只出现一次，所以可以得出n个点即所有点，证毕。

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证明： 每次跳k步和每次跳gcd(n,k)步，遇到的所有点的集合一样

每次跳到的点为：

$$\begin{gathered} (ak)\%n=((a\frac{k}{gcd(n,k)})\%n\ast gcd(n,k))\%n（a为倍数，取任意整数） \\ n与\frac{k}{gcd(n,k)}互质，所以(a\frac{k}{gcd(n,k)})\%n可以取到[0,n-1] \\ 也就变成了a\ast k\%n=b\ast gcd(k,n)\%n，证毕 \end{gathered}$$

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那么这题其实已经结束了，枚举所有k，那么就可以归纳所有的gcd，这个数量最多为一个数的因子数。（这个数量非常有限，一个数的素因子个数为10数量级，因子个数为100数量级，1000000以内最多的720720有240个因子，10000000里的8648640为448个）

那么接下来就是暴力每个gcd

#include
using namespace std;


char x[100009];

int k[100009];
bool vis[100009];

int main(){
    scanf("%s",x);
    int n=strlen(x);
    for(int i=1;i<n;i++){
        k[__gcd(n,i)]++;
    }
    int ans=0;

    for(int i=1;i<n;i++){
        if(n%i)continue;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int j=0;j<n;j++){
        	//因为gcd=i为n的因子，所以跳到的点为a+ki
            if(x[j]=='P')vis[j%i]=1;//kx+j如果不行，说明j这个点也不行
        }
        int yes=0;
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(vis[j]==0){
                yes=1;break;
            }
        }
        if(yes)ans+=k[i];
    }
    printf("%d\n",ans);
}