算法学习之动态规划详解

定义

      动态规划与贪心法类似，但不同的是动态规划是讲究整体最优解，它的当前步做出的最优解与之前的每一步的状态有关，而贪心法当前步得出的最优解只与上一步的状态有关。动态规划主要难在模型的建立。
      ## 解题步骤

1. 找出最优解性质，刻画其结构特征和最优子结构特征

2. 递归的定义最优值，刻画原问题与子问题解间的关系

3. 自底向上的计算各个子问题、原问题的最优值，并避免子问题的重复计算

4. 根据计算最优值得到的信息，构造最优解

例1：金字塔求和问题

    给定一个由n行数字组成的数字三角型，如图所示。设计一个算法，计算从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走，给出这个最大和。
    7 
  3  8 
8  1  0 

2 7 4 4
4 5 2 6 5

方法一：正向思考，第k步到第k+1步，比较第k步中的数据，找出到达第k+1步的k+1个次优解，然后到第n步一共有n个次优路径可走，然后从中比较出最大的

#include
#include
#include
using namespace  std;

int main(){
	int sum[100][100] ;//每走一步所有情况的总和
	int t[100][100] ;//输入的三角形存放的数据
	memset(sum, 0, sizeof(sum));//cstring中的库函数，初始化每个数据为0
	memset(t, 0, sizeof(t));
	int n;//行数
	cout << "请输入行数：" << endl;
	cin >> n;
	cout << "请按三角形形状输入数据:" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			cin >> t[i][j];
		}
	}
	sum[1][1] = t[1][1];
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			if (j == 1 ) {
				sum[i][j] = sum[i - 1][j] + t[i][j];
			}
			else if (j == i) {
				sum[i][j] = sum[i - 1][j - 1] + t[i][j];
			}
			else {
				sum[i][j] = max(sum[i - 1][j - 1], sum[i][j - 1]) + t[i][j];//algorithm中的库函数max
			}
		}
	}
	int max=0;//最大的和
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		if (sum[n][j] > max)
			max = sum[n][j];
	}
	cout << "最大的和为" << max;
}

方法二：逆向思考
从下到上，逆向思维，最终的一条路径即为最优路径

#include
#include
#include
using namespace std;

int main() {
	int sum[100][100];//每走一步所有情况的总和
	int t[100][100];//输入的三角形存放的数据
	memset(sum, 0, sizeof(sum));//cstring中的库函数，初始化每个数据为0
	memset(t, 0, sizeof(t));
	int n;//行数
	cout << "请输入行数：" << endl;
	cin >> n;
	cout << "请按三角形形状输入数据:" << endl;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			cin >> t[i][j];
		}
	}
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		sum[n][j] = t[n][j];
	}
	for (int i = n-1; i > 0; i--) {
		for (int j = 1; j <= i; j++) {
			sum[i][j] = max(sum[i + 1][j], sum[i + 1][j+1]) + t[i][j];
		}
	}
	
	cout <<"最大的和为"<< sum[1][1];
	
}

例2：最长递增子序列

#include
#include
#include
using namespace std;

int main() {
	int a[100];
	memset(a, 0, sizeof(a));
	int n;
	cout << "请输入数的个数" << endl;
	cin >> n;;
	cout << "请输入数据：" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
	
	int d[100];//以输入的每个数据为结尾的最长递增子序列的个数
	
	 memset(d, 0, sizeof(d));
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		d[i] = 1;
		
		for (int j = 0; j < i; j++) {
			if (a[j] < a[i]) {
				d[i] = max(d[i], d[j] + 1);//实际上是一种正向递归
				
			}
		}
	}
	int max = d[0];
	
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		if (d[i] > max) {
			max = d[i];
			
		}
	}
	cout << max << endl;
	

}