大物复习

气体动理论

• 理想气体物态方程: $$pV=\frac{m}{M}RT=\nu RT,p=nkT$$
• 摩尔气体常量与玻尔兹曼常量:$k=R/N_A,k=1.38\times 10^{-23}J\cdot K^{-1},R=8.31J\cdot mo{l}^{-1}\cdot K^{-1}$
• 理想气体压强公式:$$p=\frac{2}{3}n\overline{E_k}$$
• 理想气体分子平均平动动能: ${\bar{E}}_k=\frac{1}{2}m{\bar{v}}^2=\frac{3}{2}kT$
• 温度是分子平均平动动能的量度,反映热运动的剧烈程度.
• 处于平衡态的理想气体分子的平均平动动能只与温度有关, 而与气体种类无关.
• 温度是大量气体的集中体现, 个别分子无意义.
• 速率分布函数: $f(v)=\frac{dN}{Ndv}$,表示气体分子在速率v附近,单位速率间隔内的分子数占总分子数的比例. $nf(v)dv=\frac{dN}{V}$,代表单位体积内分布在速率区间的分子数, $Nf(v)dv=dN$,代表速率区间内的分子数.
• 麦克斯韦分布速率:$$f(v)=4\pi (\frac{m_0}{2\pi kT}{)}^{3/2}{v}^2{e}^{-\frac{m_0{v}^2}{2kT}}$$
• 最概然速率: $f(v)$中极大值对应的速率$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$
• 平均速率: 气体分子速率的算术平均值.$\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}=1.59\sqrt{\frac{RT}{M}}$
• 方均根速率: 气体分子速率平方的平均值的平方根.$\sqrt{{\bar{v}}^2}=\sqrt{\frac{3RT}{Mx}}$
• 能量均分定理: 分子的每个自由度上具有相同的平均动能, 其值为$\frac{1}{2}kT$
• 理想气体内能: 物质的量为$\nu$,内能为$\frac{i}{2}\nu RT$

狭义相对论

洛伦兹变换

• 时空变换:S系$\to$S’系$$\begin{gathered} x^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \\ {y}^{\prime }=y \\ {z}^{\prime }=z \\ {t}^{\prime }=\frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} \end{gathered}$$
• 速度变换:S系$\to$S’系$$\begin{gathered} v_x^{\prime }=\frac{v_x-u}{1-\frac{u{v}_x}{c^2}} \\ {v}_y^{\prime }=\frac{v_y\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{u{v}_x}{c^2}} \\ {v}_z^{\prime }=\frac{v_z\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{u{v}_x}{c^2}} \end{gathered}$$
• 相对论质量:$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
• 相对论动量: $$p=mv$$m为相对论质量
• 相对论能量:
  总能量: $E=m{c}^2$
  静止能量: $E_0=m_0{c}^2,(m_0为静止质量)$
  相对论动能: $E_k=m{c}^2-m_0{c}^2$
  动量和能量关系:$E^2=E_0^2+p^2{c}^2$

刚体力学

• 转动惯量: $J=\int r^{2}dm$
• 平行轴定理: $J=J_c+m{d}^2$, d为两轴距离.
• 常见物体转动惯量:
  杆绕起点: $\frac{1}{3}m{l}^2$
  杆绕中点: $\frac{1}{12}m{l}^2$
  圆环: $m{R}^2$
  圆盘: $\frac{1}{2}m{R}^2$
  

质点运动学

• 牛顿第二定律:$F=\frac{dp\text{p}p}{dt}$
• 功: $A_{ab}={\int }_a^{b}dA={\int }_b^{a}F\text{F}F\cdot dr\text{r}r$
• 功率: $p=\frac{dA}{dt}=F\text{F}F\cdot v\text{v}v$
• 冲量: $I\text{I}I=\int dI\text{I}I={\int }_{t1}^{t2}F\text{F}Fdt$
• 动量定理: $F\text{F}Fdt=d(mv\text{v}v)$,${\int }_{t1}^{t2}F\text{F}Fdt=m{v\text{v}v}_2-m{v\text{v}v}_1$
• 质点对某固定点O的角动量: $L\text{L}L=r\text{r}r\times mv\text{v}v$
• 角动量定理: $M\text{M}M=\frac{dL\text{L}L}{dt}$

热力学基础

• $1^{o}C=274.15K$
• 准静态过程中的功: $dA=pdV,A={\int }_{V_1}^{V_2}pdV$
• 准静态过程中系统从外界吸收热量: $dQ=\nu C_{m}dT,Q={\int }_{T_1}^{T_2}\nu C_{m}dT$,期中, $C_m$为摩尔热容,$\nu$为物质的量.
• 理想气体内能: $E=\nu \frac{i}{2}RT$,
• 热力学第一定律: $Q=(E_2-E_1)+A$
• 摩尔热容量: $C_m=\frac{1}{\nu }{\lim }_{\Delta T\to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta T}$
  定体摩尔热: $C_{V,m}=\frac{1}{\nu }(\frac{dQ}{dT}{)}_V$
  定压摩尔热: $C_{P,m}=\frac{1}{\nu }(\frac{dQ}{dT}{)}_P$
  理想气体定体摩尔热: $C_{V,m}=\frac{i}{2}R$
  理想气体定压摩尔热: $C_{P,m}=\frac{i+2}{2}R$
• 迈耶公式: $C_{p,m}=C_{V,m}+R$
• 比热容比: $\gamma =\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}$
• 理想气体得典型过程:
  • 等体过程: $Q=\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T$
  • 等压过程: $Q=\nu C_{p,m}\Delta T,A=p(V_2-V_1)=\nu R(T_2-T_1)$
  • 等温过程: $Q=A=\nu RT\ln \frac{V_2}{V_1}=\nu RT\ln \frac{p_1}{p_2}$
  • 绝热过程: $A=-\Delta E=-\nu C_{V,m}(T_2-T_1)=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}$
    绝热方程: $p{V}^{\gamma }=C$或$T{V}^{\gamma -1}=C$
  • 多方过程方程: $p{V}^n=C$
• 理想气体普适的方程: $E=\nu C_{V,m}T$
• 循环过程: $A=Q=Q_1-|Q_2|$, $Q_1$是从高温热源吸收的热量, $Q_2$是向低温热源释放的热量.
• 热机效率: $\eta =\frac{A}{Q}=1-\frac{|Q_2|}{Q_1}$
• 制冷系数: $\omega =\frac{Q_2}{|A|}=\frac{Q_2}{|Q_1|-Q_2}$
• 卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成.
• 卡诺循环热机效率: $\eta =1-\frac{T_2}{T_1}$
• 卡诺循环制冷系数: ${\omega }_c=\frac{T_2}{T_1-T_2}$其中$T_1$为高热源温度.
• 玻尔兹曼熵公式: $S=k\ln \Omega$
• 克劳修斯熵公式: $S_2-S_1={\int }_2^1\frac{dQ}{T}$