线性代数(二十二) ：行列式的展开式

本节根据置换的和多重线性函数来推导行列式的展开式

0 回忆行列式函数D的性质

(i)  若存在i不等于j有ai= aj 则D(a1,...,an)=0;

(ii)D是其自变量的多重线性函数

(iii)D(e1,...,en)=1;

(iv)若D是其自变量的交错函数，即如果交换ai和aj，则D的值将改变一个因子(-1)

1 行列式函数D的展开式

(1)定义函数D(a1,a2,...,an)是以a1,a2,...,an为列的矩阵的行列式其自变量aj是列向量：

因此函数D满足行列式的性质

(2)根据性质(ii)D是多重线性函数，于是有：

接下来，将a2表示成e1,e2,...,en的线性组合进而得到一个nxn项的公式。上述步骤重复n次可以得到：

其中的求和号表示从{1,...,n}到{1,...,n}的全体映射ff求和如果f不是置换，则存在i不等于j使得fi = fj 于是根据性质(i)有：

这说明只需对群体置换求和即可。

(3)由于每一个置换都可以分解成对换的乘积根据性质(iv)对D做一次对换，D的值将改变一个因子(-1),

再由置换的性质可知：

(4)综合上边的式子可以得到：

这样就用自变量的分量表示出了D，也就是求出了矩阵行列式的展开式。

(5)矩阵行列式展开式的例子：