线性代数Lec04：A的LU分解

目标：消元矩阵的乘法审视高斯消元

1. 矩阵可逆的顺序

假设矩阵 A,B 可逆，那么 (AB)−1 是什么？
根据 AA−1=I , 因此 (AB)−1=B−1A−1 ;

AB(B−1A−1)=A(BB−1)A=I

2.消元矩阵

给定二元矩阵 E32A=U ,

[ 1 −401][ 2 817]=[ 2 013]

变成右边形式 A=LU 如下

[ 2 817]=[ 1 401][ 2 013]

其中 U 表示上三角矩阵(Upper)， L 表示下三角矩阵(Lower)
同时发现上述矩阵 A 也可以分解为 A=LDU , D 表示对角矩阵

[ 2 817]=[ 1 401][ 2 003][ 1 01/21]

关于矩阵LU分解一般形式如下（以三元矩阵为例）
E32E31E21A=U (no rows exchange)

可转化为：

A=E−121E−131E−132U

3. 分析

Q1：为什么 A=LU 形式好于 EA=U

以三元矩阵为例， E32E31E21=E , 此处 E31=I ，因此 E=E32E21 ,

⎡⎣⎢ 1 0 001−5001⎤⎦⎥⎡⎣⎢ 1 −2 0010001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ 1 −2 1001−5001⎤⎦⎥

而对于 E−121E−132=L , 结果如下：

⎡⎣⎢ 1 2 0010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢ 1 0 0015001⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ 1 2 0015001⎤⎦⎥

我们可以发现在 E 中有多余的系数10，而 L 中可以很直观地表现出矩阵的操作，从而了解消元的过程。

Q2：对于一个矩阵 An∗n ，若无行变换操作，进行LU分解需要多少次操作？

在这里将一次乘法加减法视为一次操作，操作的次数变现为矩阵中元素发生改变的次数，以第一行不变为例，通过消元进行了下面n*(n-1)次操作，因此结果如下：

∑i=1ni2=13n3

即为一般矩阵 LU 分解的复杂度。