数值分析（三）：C++实现线性方程组的高斯-赛德尔迭代法

线性方程组的直接解法之后，就轮到迭代解法了，直接解法针对的是低阶稠密矩阵，数据量较少，而工程上有更多的是高阶系数矩阵，使用迭代法效率更高，占用的空间较小。
迭代法的最基本思想就是由初始条件，比如说初始解向量随便列举一个，就0向量也行，然后进行迭代，k到k+1，一步一步从k=1开始去逼近真实解，虽然说迭代法的解是近似解，但是当迭代次数足够多的时候，得到的就是很很接近真实解了，而直接解法说是得到精确解，但是受计算机的限制，截断误差总是有的，所以最后得到的也是近似解，因此两种解法也无所谓孰优孰劣之分，得具体情境具体看了，这次来实现迭代法中的高斯-赛德尔迭代法，并用C++实现。
（一）高斯-赛德尔迭代法的步骤
最简单的迭代法是雅克比迭代法，对于对角严格占优的系数矩阵就可以使用雅克比迭代法进行计算，比如说方程：

满足系数矩阵的严格对角占优，即对角线上的元素比同行的其他元素之和还要大，数学表达式就是：

满足这样的关系就可以进行雅克比迭代法了，进行雅克比迭代是留下主对角元素在最左边，然后剩下全部移到右边，得到这样一个一步一步迭代的式子：

这样就到了一个k到k+1的迭代公式，可以取（0,0,0）进行迭代，知道解向量达到一定的精度放弃迭代，十次迭代后，就能得到：

这是迭代法最常见也最容易的雅克比迭代，效率比较低，于是就有高斯—赛德尔迭代法，那就是方程里迭代计算x2时，x1已经迭代过了，即x1的数据已经更新了，所以应该用最新的值，关键是效率会高很多，于是就有下面的迭代式子：

这样一种小小的改进，给迭代计算方程的解带来极大效率的提高，所以接下来再将高斯—赛德尔迭代法步骤进行数学语言的描述：
使用高斯-赛德尔迭代法解线性方组程***Ax=b***：
1：先判断系数矩阵是否严格对角占优，即针对系数矩阵的每一行验证，是否满足主对角元的绝对值比该行其他元素的绝对值之和还要大，即在循环里验证系数矩阵每一行是否满足：

满足了对角占优，再继续下一步；
2：
（1）设定初始即第一次迭代时，k=1时的解向量，方便起见，x[i]=0(i=1,2,···n)，初始向量设定为零向量；
（2）对于k=1,2,3···N（N视你的精度确定，若是精确到小数点之后很多位，那N就比较大了），然后对于i=1,2，···n：

当满足了精度要求就退出循环，计算结束。
（二）C++实现高斯-赛德尔迭代法
同样的分别用函数和类来实现这个简单的算法，首先是函数，还是那个观点，函数就是一个黑匣子，对于客户或是任何一个使用者来说，只需要知道输入参数是什么，以及自己需要得到什么结果就行，至于黑匣子中间是什么，以及如何实现的，就不用你操心了，还记得以前做毕设的时候，有一步是关于工业相机二次开发的，当然二次开发这个名词有点装13，但是事实上就是调用厂家提供的函数自己写段代码，或是类来控制相机，控制相机的采集图像，曝光时间、白平衡等属性的控制，以及数据的保存，当时就很不理解，一个是二次开发有什么用？明明厂家都提供驱动了，直接打开驱动直接采集不就行了？答案就是人家驱动的源代码不可能给你啊；二就是厂家就提供一个开发包给你，开发包里面是什么也不知道，就像一个黑匣子一样，你用就知道了，没必要知道里面是什么，当时就很心慌，内部机理都不知道就让我操作，当时还是太年轻，哎~现在都看开了，因为底层的东西，真的工作量会很大，而且你也不一定能看懂，更关键的是你也没必要重复造轮子，当然也造不出来，还不如人家写的是什么，你就用什么，既然商业化的产品，正规的大厂，品质自然能保证，所以用就行了。回到函数，从设计者的角度来看，这个高斯-赛德尔迭代法需要哪些参数，系数矩阵、常数矩阵、矩阵阶数，线性方程的表示就这些，还有相比直接解法，迭代解法跟重要的就是解的精确度要求，所以输入就是这么四个参数，输出吗，就是一个解向量，于是函数的声明如下：

double *gauss_seidel(int n, double **a, double *b,double eps)

最后将数学语言翻译成C++语言就可以得到高斯-赛德尔迭代法的编程实现了，比想象中的来得简单：

double *gauss_seidel(int n, double **a, double *b,double eps)
{
	int i, j;
	double p, t, s, q;
	double *x = new double[n];

	for (i = 0; i <= n - 1; i++)//这个大循环判断系数矩阵是否严格对角占优，是否适用高斯赛德尔迭代法
	{
		p = 0.0; x[i] = 0.0;
		for (j = 0; j <= n - 1; j++)
			if (i != j)   p = p + fabs(a[i][j]);
		if (p >= fabs(a[i][i]))
		{
			cout << "\n程序工作失败！" << endl;
			return NULL;
		}
	}
	//接下来就是正式的迭代计算
	p = eps + 1.0;
	while (p >= eps)//当精度还没达到的时候，继续迭代
	{
		p = 0.0;
		for (i = 0; i <= n - 1; i++)
		{
			t = x[i]; s = 0.0;
			for (j = 0; j <= n - 1; j++)
				if (j != i) s = s + a[i][j] * x[j];
			x[i] = (b[i] - s) / a[i][i];
			q = fabs(x[i] - t) / (1.0 + fabs(x[i]));
			if (q>p) p = q;
		}
	}
	return x;
}

其中，编程实现反而较雅克比迭代法简单，因为循环中的值本来就是持续更新的，所以在计算k+1次的时候，用到的就是最新的数据，所以，反倒很容易实现，计算机倒是非常对高斯-赛德尔迭代法的胃口。
笔者的主函数调用如下：

int main()
{
	double **A, *b, eps;
	int n;
	cout << "输入系数矩阵的阶数n:" << endl;
	cin >> n;
	cout << "依次输入系数矩阵的每一个元素A[i][j]:" << endl;
	A = new double *[n];
	for (int i = 0; i < n; i++)
		A[i] = new double[n];
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			cin >> A[i][j];
	b = new double[n];
	cout << "输入常数向量每一项b[i]:" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cin >> b[i];
	double *x = new double[n];
	cout << "输入计算解的精度要求eps：" << endl;
	cin >> eps;
	x = gauss_seidel(n, A, b, eps);
	cout << "通过高斯—赛德尔迭代法计算得到的解：" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cout << "x"<

当然写成类就没必要在主函数这么矫情了，直接用txt文件进行数据的读入，输入的结果也保存在txt文件里面，类的实现如下：

//3GSDL.CPP
//Gauss-Seidel迭代法
#include  
#include  
#include  
using namespace std;

class  gsdl
{
private:
	int n;
	double  **a, *b, *x, eps;
public:
	gsdl(int nn)
	{
		int i;
		n = nn;
		a = new double*[n];   //动态分配内存空间
		for (i = 0; i> str1;
	ifstream  fin(str1);
	if (!fin)
	{
		cout << "\n不能打开这个文件 " << str1 << endl; exit(1);
	}
	for (i = 0; i> a[i][j];
	for (i = 0; i> b[i];          //读入常数向量B
	fin >> eps;                              //读入eps
	fin.close();
}

void gsdl::a_gsdl()       //执行Gauss-Seidel迭代法
{
	int i, j;
	double p, t, s, q;
	for (i = 0; i <= n - 1; i++)
	{
		p = 0.0; x[i] = 0.0;
		for (j = 0; j <= n - 1; j++)
			if (i != j)   p = p + fabs(a[i][j]);
		if (p >= fabs(a[i][i]))
		{
			cout << "\n程序工作失败！" << endl;
			return;
		}
	}
	p = eps + 1.0;
	while (p >= eps)
	{
		p = 0.0;
		for (i = 0; i <= n - 1; i++)
		{
			t = x[i]; s = 0.0;
			for (j = 0; j <= n - 1; j++)
				if (j != i) s = s + a[i][j] * x[j];
			x[i] = (b[i] - s) / a[i][i];
			q = fabs(x[i] - t) / (1.0 + fabs(x[i]));
			if (q>p) p = q;
		}
	}
}

void gsdl::output()       //输出结果到文件并显示
{
	int  i;
	char str2[20];
	cout << "\n输出文件名:  ";
	cin >> str2;
	ofstream fout(str2);
	if (!fout)
	{
		cout << "\n不能打开这个文件 " << str2 << endl; exit(1);
	}
	fout << endl;  cout << endl;
	for (i = 0; i

就这样完成了高斯-赛德尔迭代法的C++实现，今天貌似心情不好啊，(* ￣︿￣)，写点东西没点激情，有点丧，其实丧真的是常态，前阵子听个简单的讲座，关于如何克服拖延的，结果老师到场，就直接说道，这主题不对啊，你们现在还有心情探讨怎么克服拖延，在我看来，你们就是矫情，你们就是太闲了，没有体会过那种事情办砸了的糟糕体验，以及没有感受到竞争的激烈性，一片厮杀的红海了，哪还有心情拖延，最好立即、马上去学习，不知道学什么的话，最起码把英语学好，哈哈哈哈，蛮有道理（事情应该被夸张了，不过意思差不多啦，这样叙述反而更有表现力，反正是正能量的东西，就不想较真了。）虽然我不认为自己是个拖延的人，但是还是觉得好有道理，笔者还是好好培养自己的执行力了~