线性代数学习笔记（七）——克莱姆法则

本篇笔记介绍了用于解方程组的克莱姆法则，该法则只适用于方程个数等于未知量个数的方程组；同时还介绍了齐次线性方程组，并讨论了方程组有零解或有非零解的条件。需要注意的是：克莱姆法则由于计算量比较大，一般不会直接用于求方程组的解，而是用于讨论方程组有零解或非零解。

1 Cramer 法则

克莱姆法则用于解方程组，只适用于方程个数等于未知量个数。

方程组：

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2+5x_3=6\\ -x_1+x_2+6x_3=9\end{array}$

系数行列式：方程组的系数组成的行列式。

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 5\\ -1& 1& 6\end{array}\right|$

定理 1.5.1 克莱姆法则：含有$n$个方程$n$个未知量的方程组，系数行列式不等于零，则$x_j=\frac{D_j}{D}$。式中$x_j$为对应未知数的值，$D$为系数行列式，$D_j$为方程组右边常数项替换$D$的第$j$列后的行列式。

上述方程组的$D_1$、$D_2$和$D_3$分别为：

$D_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 6& -1& 5\\ 9& 1& 6\end{array}\right|$

$D_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 6& 5\\ -1& 9& 6\end{array}\right|$

$D_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 6\\ -1& 1& 9\end{array}\right|$

克莱姆法则成立的两个条件：
① 方程个数=未知量个数；
② 系数行列式D≠0。

例1：
略。

2 齐次线性方程组

齐次线性方程组右边常数项全为0，齐次线性方程组至少有0解。
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ x_1-x_2+5x_3=0\\ -x_1+x_2+6x_3=0\end{array}$

零解：全都等于0的解；
非零解：除了0解以外的解。

定理 1.5.2：如果齐次线性方程组的方程个数等于未知量个数，并且系数行列式$D\ne 0$，则方程组只有0解。

逆否命题：若齐次线性方程组有非0解，则它的系数行列式必等于零（$D=0$）。

还可以证明，如果齐次线性方程组系数行列式等于零（$D=0$），那么齐次线性方程组一定有非0解。

充要条件：也就是说：（方程个数等于未知量个数的）齐次线性方程组有非0解$⟺$$D=0$。

例2：以下齐次线性方程组中，问$a,b,c$满足何种关系时只有零解，或有非零解？
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0\\ a^2{x}_1+b^2{x}_2+c^2{x}_3=0\end{array}$

解：上述齐次线性方程组的系数行列式为：
$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|$

该行列式为范德蒙德行列式：
$D=(b-a)(c-a)(c-b)$

① 由定理定理 $1.5.2$ 可知，$D\ne 0$，齐次线性方程组只有零解，即：
$(b-a)(c-a)(c-b)\ne 0$

所以，当 $b\ne c$ 并且 $c\ne a$ 并且 $c\ne b$ 时，齐次线性方程组只有零解。

② 当$D=0$时，齐次线性方程组有非零解，即：
$(b-a)(c-a)(c-b)=0$

所以，当 $b=c$ 或者 $c=a$ 或者 $c=b$ 时，齐次线性方程组有非零解。

例3：
略。

3 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_1.5 克莱姆法则