Gauss消元法的Matlab实现

一、消元过程

    设线性方程组为：

                      式（1.1）

   消元目标为一个上三角形方程组：

                       式（1.2）

    第1步，设，记，用-li1乘以方程组式（1.1）的第1个方程，加到第i个方程（i=2,3,....,n）,消去方程组式（1.1）的第2个直到第n个方程中含有x1的项，得到一个与式（1.1）等价的方程组式（1.3）：

                      式（1.3）

    其中有

          

    第2步，设，记，用-li2乘以方程组式（1.3）的第2个方程，加到第i个方程（i=3,4，....,n）,消去方程组式（1.,3）的第n-2个方程中含有x2的项，得到一个与式（1.3）等价的方程组式（1.4）：

                      式（1.4）

    其中有

         

    类似的，若（i=3,4,...，n-1），完成第n-1步后，则可得一个等价的上三角形方程组

                     式（1.5）

    由方程式（1.1）转化为方程组式（1.5）是Gauss消去法的消元过程，该过程的计算公式为：

    k = 1,2,3,...,n-1,计算：

                        式（1.6）

二、回代过程

    通过消元过程，将原来的方程组式（1.1）转化为上三角形方程组式（1.5），当时，该上三角形方程组可以通过如下公式求解：

                        式（1.7）

    即回代过程

三、代码实现

    根据式（1.6）和（1.7）的迭代过程，该算法实现的代码如下：

%% Gauss消元法的Matlab实现
function [r_matrix] = GaussElimination(Coefficient_matrix,Load_matrix)
%  2017-11-05  xh_scu
%  inputs:
%         Coefficient_matrix:系数矩阵，为n*n维方阵
%         Load_matrix       :载荷矩阵，为n*1维矩阵
%  outputs：
%         r_matrix:计算结果向量,为n*1为矩阵

% 判断输入矩阵维度是否满足要求
[row_coeff,col_coeff] = size(Coefficient_matrix);
[row_load,~] = size(Load_matrix');

% 初始化r_matrix矩阵
r_matrix = zeros(row_load,1);
% 判断输入的维度是否满足要求
if (row_coeff ~= col_coeff) || (row_coeff ~= row_load)
    % 不满足则输出错误提示
    print('输入错误！');
else
    % 满足则进行下一步运算
    for k = 1:row_coeff-1
        % 检查主对角元素第i行的第i个元素是否为0
        if Coefficient_matrix(k,k) == 0
            print('主对角元素错误！');
        else
            % 循环计算第k+1行到最后一行
            for i = k+1:row_coeff
               L_ik = Coefficient_matrix(i,k) / Coefficient_matrix(k,k); %更新L_ik
               % 更新每一行从第i个元素开始后的所有元素
               for j = k+1:col_coeff
                   Coefficient_matrix(i,j) = Coefficient_matrix(i,j) - ...
                       L_ik*Coefficient_matrix(k,j); % 更新a(i,j)
               end
               Load_matrix(i) = Load_matrix(i) - Load_matrix(k)*L_ik; % 更新b(i)
               Coefficient_matrix(i,1) = 0; 
            end %for循环结束
        end % 条件2结束
    end % for循环结束
    % 回代过程
    r_matrix(row_coeff) = Load_matrix(row_coeff)/Coefficient_matrix(row_coeff,col_coeff);
    for k = row_coeff-1:-1:1
        sum_temp = 0;
        for j = k+1:col_coeff
            sum_temp = sum_temp + Coefficient_matrix(k,j)*r_matrix(j);
        end
        r_matrix(k) = (Load_matrix(k) - sum_temp)/Coefficient_matrix(k,k);
    end
end % 条件判断结束
end % 函数结束

四、测试分析

    设输入a = [1,2;5,6], b = [12,24],则计算结果为result=[-6,9]。通过手算验证该结果为正确结果。

    下面对算法的时间代价进行测试，输入维度分别取100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000，输入元素采用1-100的整数，计算时间代价如下表所示。

计算时间（单位：s）

维度	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
时间	0.0280	0.2230	0.7520	1.7890	3.4770	6.1610	10.2220	15.0800	21.7500	31.4570

    计算时间示意图