离散数学 06.03 置换群

§6.3置换群 

6.3.1置换的定义 

定义6.3.1.设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一变换称为一个置换。 
设M的元素为a 1 ,a 2 ,⋯,a n ,则M的置换σ可以简记为σ=(a 1 b 1  a 2 b 2  ⋯⋯ a n b n  ),b i =σ(a i ),i=1,2,⋯,n 
因为置换按定义是一对一的，所以b 1 ,b 2 ,⋯,b n 是a 1 ,a 2 ,⋯,a n 的一个排列，由此可见，M的每个置换对应a 1 ,a 2 ,⋯,a n 的一个排列，不同的置换对应不同的排列，此外，a 1 ,a 2 ,⋯,a n 的任意排列也确定M的一个置换，所以，M的置换共有n!个，其中m是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下用S n 表示这n!个置换做成的集合。 
若σ=(a 1 a 1  a 2 a 2  ⋯⋯ a n a n  ),则称σ为n元恒等置换. 
例6.3.1.设M={1,2,3},则有3!=6个三元置换， 
σ 1 =(11 22 33 )为3元恒等置换， 
σ 2 =(11 23 32 ),σ 3 =(13 22 31 ), 
σ 4 =(12 21 33 ),σ 5 =(12 23 31 ), 
σ 6 =(13 21 32 )。 
故，S 3 ={σ 1 ,σ 2 ,σ 3 ,σ 4 ,σ 5 ,σ 6 }。 
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ,τ,规定:στ(a)=σ(τ(a))。 
例6.3.2.设σ=(12 21 33 44 ),τ=(13 24 31 42 ), 
则στ=(13 24 32 41 )。 

置换乘法有下述一些性质： 
(1)满足结合律:(στ)ρ=σ(τρ),σ,τ,ρ∈S n . 
(2)n元恒等置换是S n 中的单位元素，设σ 0 ,有:σ 0 τ=τσ 0 =τ,τ∈S n 。 
(3)每个n元置换在S n 中有逆元素(a 1 b 1  a 2 b 2  ⋯⋯ a n b n  ) −1 =(b 1 a 1  b 2 a 2  ⋯⋯ b n a n  ) 

定理6.3.1.n元置换的全体做成的集合S n 对置换的乘法做成一个群，称为n次对称群。 
注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律，比如，例6.3.2中，τσ=(14 23 31 42 )≠στ,因此，当n≥3时，S n 不是交换群。 

6.3.2置换的轮换表法 

定义6.3.2.设σ是M的置换，若可取到M的元素a 1 ,⋯,a r 使σ(a 1 )=a 2 ,σ(a 2 )=a 3 ,⋯,σ(a r−1 )=a r ,σ(a r )=a 1 ,而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换，记为(a 1 ,a 2 ,⋯,a n )当然，也可以把a 1 ,⋯,a r 中任意的元素a i 排在头一位而改成(a i ,a i+1 ,⋯,a r ,a 1 ,⋯,a i−1 ) 

例6.3.3.σ=(13 22 34 41 55 66 ) 
=(1 3 4 )=(3 4 1 )=(4 1 3 ) 

定义6.3.3.M的两个轮换σ=(a 1 ⋯a r )和τ=(b 1 ⋯b s )说是不相杂或不相交，如果a 1 ,⋯,a r 和b 1 ,⋯,b s 都不相同。 
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法适合交换律:στ=τσ 
证明：设σ=(a 1 ⋯a r ),τ=(b 1 ⋯b s ),σ和τ不相杂。命x为M的任意元素，(1)若x在a 1 ,⋯,a r 之内，比方x=a i ,则στ(x)=στ(a i )=σ(a i )=a i+1 ,τσ(x)=τσ(a i )=τ(a i+1 )=a i+1 。i=r时，a i+1 应改为a 1 。总之，στ(x)=τσ(x)。(2)同样可以说明，若x在b 1 ,⋯,b s 之内，也有στ(x)=τσ(x)。(3)设x不在a 1 ,⋯,a r ,b 1 ,⋯,b s 之内。于是，στ(x)=σ(x)=x,τσ(x)=τ(x)=x。因此，在所有情况下，στ(x)=τσ(x),故στ=τσ。 

定理6.3.2.任意置换σ恰有一法写成不相杂的轮换乘积。 
证明：先证σ可以写成不相杂的轮换的乘积，取任意a 1 ∈M。(1)若σ(a 1 )=a 1 ,则a 1 自己就做成一个轮换。(2)设σ(a 1 )=a 2 ,σ(a 2 )=a 3 ,⋯。这样下去，由于M有限，故到某一个元素a r ,其σ(a r )必然不能再是新的元素，即这σ(a r )必在a 1 ,⋯,a r 之内。由于σ是一对一的，我们已有σ(a i )=a i+1 ,i=1,2,⋯,r−1,所以σ(a r )只能是a 1 。于是我们得到一个轮换(a 1 ⋯a r )。若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮换，否则，设b 1 不在a 1 ,⋯,a r 之内，则同样做法又可得到一个轮换(b 1 ⋯b s )。因为a 1 ,⋯,a r 各自有变换到它的元素，所以b 1 ,⋯,b s 中不会有a 1 ,⋯,a r 出现，即这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最后必得σ=(a 1 ⋯a r )(b 1 ⋯b s )⋯(c 1 ⋯c t )(1)即σ表成了不相杂的轮换乘积。 
证表法唯一，设σ又可表示为不相杂的轮换的乘积如下:σ=(a ′ 1 ⋯a ′ r )(b ′ 1 ⋯b ′ s )⋯(c ′ 1 ⋯c ′ t )(2)试看(1)式中的任意轮换，例如(a 1 ⋯a r )。a 1 必出现在(2)式中的某个轮换之内，例如(a ′ 1 ⋯a ′ r )。由于一个轮换中任意元素都可排在头一位，不妨假定a 1 =a ′ 1 。于是，a 2 =σ(a 1 )=σ(a ′ 1 )=a ′ 2 ,a 3 =σ(a 2 )=σ(a ′ 2 )=a ′ 3 ,⋯,如此类推，可见(a 1 ⋯a r )必和(a ′ 1 ⋯a ′ r )完全相同，这就是说，(1)的任意轮换必出现在(2)中，同样(2)中的任意轮换必出现在(1)中，因此，(1)和(2)一样，最多排列方法不同，但不相杂的轮换相乘适合交换律，所以排列的次序本来是可以任意颠倒的。 

例6.3.4.设M的元数为4，于是M的24个置换可以写成下面的形式:(1 2 ),(1 3 ),(1 4 ),(2 3 ),(2 4 ),(3 4 );(1 2 3 ),(1 3 2 ),(1 2 4 ),(1 4 2 ),(1 3 4 ),(1 4 3 ),(2 3 4 ),(2 4 3 );(1 2 3 4 ),(1 2 4 3 ),(1 3 2 4 ),(1 3 4 2 ),(1 4 2 3 ),(1 4 3 2 );(1 2 )(3 4 ),(1 3 )(2 4 ),(1 4 )(2 3 ). 

设(a 1 a 2 ⋯a r )为一轮换，称r为该轮换的长度，一轮换的长度也就是其中所含的元素个数。特别，长度为2的轮换称为对换。任意轮换都可以写成对换的乘积。例如下列公式：(a 1 a 2 ⋯a r )=(a 1 a r )(a 1 a r−1 )⋯(a 1 a 3 )(a 1 a 2 )(3)于是由定理6.3.2即可推知下列推论。 
推论1：对任意置换，有一法(但未必只有一法)可将其写成一些对换的乘积。 
推理1中乘积中出现的诸对换已非不相杂，例如上式中的诸对换一律杂以a 1 .而且表法也不唯一。比如，(1 2 )=(1 2 )(1 3 )(1 3 )=(2 3 )(1 3 )(2 3 )。 

6.3.3置换的顺向圈表示 

置换表成一组轮换的乘积后，就可以在平面上用一组顺向圈来表示，这样，就得到一个平面上的有向图形，它直观地描绘出元素之间的变换关系，例如，例6.3.4中的置换(1 2 )(3 4 )由图形在该表示法中，从a向b引一箭头，就表示在该置换下，a变到b。 

总之，一个n元置换σ有一个图形表达式:G σ =α 1 z 1 +α 2 z 2 +⋯+α r z r ,其中α 1 +2α 2 +⋯+rα r =n称为该置换的图型；反之，给一个图型，即如上的图形表达式，就相应有一个n元置换σ。因为n元置换最多只能出现1个最长的圈z n ,也最多只能出现n个最短的圈z 1 ,所以对于上列的图形表达式G σ ,总可写成G σ =∑ i=1 n α i z i =α 1 z 1 +α 2 z 2 +⋯+α n z n ,0≤α 1 ≤n;α n =0或1;全部α都是非负整数。 

6.3.4置换的奇偶性 

设σ表为k个不相杂的轮换的乘积，这些轮换的长度分别为r 1 ,r 2 ,⋯,r k .视∑ j=1 k (r