统计学习方法——第1章 统计学习方法概论

统计学习方法

第一章 统计学习方法概论

1.1 统计学习

​ 对象：数据。基本假设：同类数据具有一定的统计规律性。

​ **统计学习方法三要素：**模型、策略、算法

​ **统计学习的组成：**监督学习、非监督学习、半监督学习、强化学习

1.2 监督学习

**输入空间：**输入的所有可能的取值的集合

**输出空间：**输出的所有可能的取值的集合

**特征空间：**每一个具体的实例由一个特征向量表示，所有特征向量的空间称为特征空间

​ 实例$x$的特征向量：$x=(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)})$，其中，$x^{(i)}$表示第$i$个特征

​ 第$i$个输入变量：$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)}{)}^T$,通常用列向量表示

​ 训练集：$T=((x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n))$

回归问题：输入变量与输出变量均为连续变量的预测问题

分类问题：输出变量为有限个离散变量的预测问题

标注问题：输入与输出均为变量序列的预测问题

联合概率分布：$P(X,Y)$是输入$X$和输出$Y$的联合概率分布分布函数或分布密度函数，$X$和$Y$具有联合概率分布的假设是监督学习关于数据的基本假设

监督学习的模型

​ 1、概率模型：由条件概率$P(X,Y)$确定，预测：$P(y|x)$

​ 2、非概率模型：由决策函数$Y=f(X)$表示，预测：$y=f(x)$

​ 3、生成模型：生成方法由数据学习的联合概率分布$P(X,Y)$,然后求出条件概率$P(Y|X)$作为预测的模 型。即生成模型：$P(Y|X)=\frac{P(X,Y)}{P(X)}$,该模型表示在给定输入$X$产生输出$Y$的生成关系。典型的生成模型有： 朴素贝叶斯法和隐马尔可夫模型。

​ 4、判别模型：由数据直接学习决策函数$f(X)$或者条件概率分布$P(Y|X)$作为预测模型。判别模型关心的 是给定的输入$X$,应该预测什么样的输出$Y$。典型的判别模型有：k近邻法，感知机，决策树，logistics回归， 最大熵模型，支持向量机，提升方法和条件随机场。

1.3 统计学习方法三要素

$$方法=模型+策略+算法$$

​ 在监督学习中，模型就是所要学习的条件概率分布或决策函数，模型的假设空间包含所有的条件概率分 布或决策函数。假设空间用$\mathcal{F}$表示，假设空间可以定义为条件概率分布/决策函数的集合：
$$\mathcal{F}=\{P|P(X,Y)\}OR\mathcal{F}=\{f|Y=f(X)\}$$
​ 其中$X$和$Y$表示定义在输入空间和$\mathcal{X}$输出空间$\mathcal{Y}$上的变量，这是$\mathcal{F}$通常是一个由参数向量决定的函数族：
$$\mathcal{F}=\{P\left|P_{\theta }(Y|X),\theta \in {\mathbf{R}}^n\right\}OR\mathcal{F}=\left\{f|Y=f_{\theta }(X),\theta \in {\mathbf{R}}^n\right\}$$
​ 参数向量$\theta$取值与$n$维欧式空间${\mathbf{R}}^n$,称为参数空间

​ 在监督学习中，策略就是考虑按照什么样的准则学习或选择最优模型。

损失函数：是$f(X)$和$Y$的非负实值函数，记为$L(Y,f(X))$，度量模型一次预测的好坏

序号	类型	表达式
（1）	0 - 1损失函数	$L(Y,f(X))=\{\begin{array}{ll}1,& Y̸=f(X)\\ 0,& Y=f(X)\end{array}$
（2）	平方损失函数	$L(Y,f(X))=(Y-f(X){)}^2$
（3）	绝对损失函数	$L(Y, f(X))=
（4）	对数（似然）损失函数	$L(Y,P(Y))=-\log P(Y)$

​ 输入、输出$(X,Y)$是随机变量，遵循联合分布$P(X,Y)$,所以损失函数的期望为：
$$R_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}(f)=E_P[L(Y,f(X))]={\int }_{\mathcal{X}\times \mathcal{Y}}L(y,f(x))P(x,y)\mathrm{d}xdy$$
​ 这是理论上模型$f(X)$关于联合分布$P(X,Y)$平均意义下的损失，称为风险函数或期望损失，用于度量平 均意义下模型预测的好坏。学习的目标就是选择期望风险最小的模型。

​ 由于联合分布$P(X,Y)$未知，$R_{\exp }(f)$不能直接求出。事实上，如果已知$P(X,Y)$则可以间接求出条件概 率$P(Y|X)$，因此，也不需要学习，正是由于联合分布未知，所以才进行学习。一方面，最小化期望风险需要 用到联合分布，另一方面。联合分布又未知，所以监督学就成为一个病态问题（ill-formed problem）。

​ 给定训练数据集$T\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$，模型$f(X)$关于训练数据集的平均损失称为经验 风险或经验损失， 记为$R_{emp}$:
$$R_{\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{p}}(f)=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)$$
经验风险最小化(ERM)：
$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)$$
​ 其中$\mathcal{F}$是假设空间。当样本容量足够大时，经验风险最小化能保证很好的学习效果，在显示中被广泛应 用。如极大似然估计就是经验风险最小化的一个例子。当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数 时，经验风险最小化等价于极大似然估计。

结构风险最小化(SRM)：
$$\underset{f\in \mathcal{F}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)+\lambda J(f)$$
​ 结构风险最小化是为了防止过拟合而提出的策略。结构风险最小化等价于正则化。结构风险小的模型往 往对训练数据集和未知的测试数据集都具有较好的预测。如贝叶斯估计的最大后验概率估计就是结构风险最 小化的一个例子。当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数，模型的复杂度模型的先验概率表示 时，结构风险最小化等价于最大化后验概率。

1.4 模型评估与模型选择

训练误差：
$$R_{\text{ enp }}(\hat{f})=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}L\left(y_i,\hat{f}\left(x_i\right)\right)$$
测试误差：
$$e_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\frac{1}{N^{\prime }}\sum _{i=1}^{N^{\prime }}L\left(y_i,\hat{f}\left(x_i\right)\right)$$
​ 当损失函数是0-1损失时，测试误差就成了常见的测试数据集的误差率：
$$e_{\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\frac{1}{N^{\prime }}\sum _{i=1}^{N^{\prime }}I\left(y_i̸=\hat{f}\left(x_i\right)\right)$$
​ 相应地，常见的测试数据集的准确率（Accuracy）为：
$$r_{\text{ test }}=\frac{1}{N^{\prime }}\sum _{i=1}^{N^{\prime }}I\left(y_i=\hat{f}\left(x_i\right)\right)$$
​ 显然：$r_{\text{ test }}+e_{\text{ test }}=1$

泛化误差：
$$R_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}(\hat{f})=E_P[L(Y,\hat{f}(X))]={\int }_{\mathcal{X}\times \mathcal{Y}}L(y,\hat{f}(x))P(x,y)\mathrm{d}xdy$$
​ 泛化误差上界：1）是样本容量的函数，当样本容量增加时，泛化上界趋于0；是假设空间的容量的函 数，假设空间容量越大，模型就越复杂，泛化误差上界就越大。

​ 定理（泛化误差上界）：对二分类问题，当假设空间是有限个函数的集合$\mathcal{F}=\left\{f_1,f_2,\cdots ,f_d\right\}$，对任意 一个函数的集合$f\in \mathcal{F}$，至少以概率$1-\delta$，以下不等式成立：
$$R(f)⩽\hat{R}(f)+\epsilon (d,N,\delta )$$

$$\epsilon (d,N,\delta )=\sqrt{\frac{1}{2N}\left(\log d+\log \frac{1}{\delta }\right)}$$

其中，期望风险$R(f)=E[L(Y,f(X))]$,经验风险$\hat{R}(f)=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^{N}L\left(y_i,f\left(x_i\right)\right)$