矩阵之LU分解

最近学习了矩阵的LU分解，LU分解是一种矩阵求费其次方程的算法，在matlab中通过矩阵求逆的方式（inv语句）就可以实现，求逆过程中，一般是通过高斯消去法进行求逆，算法复杂度n^3/2,而在其他语言中，一般求解废弃次方程组是需要自己进行编写的（或者从网上download一个程序~，因此编一个有效的解法可以大大降低程序的运行时间。

LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法（Doolittle algorithm）：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。一般来说，如果LU分解只是为了单纯求一个非齐次方程组，则没有任何优势可言，算法复杂度还要高于普通的高斯消去法，但是如果想要求解具有一些结果扰动的方程，即AX=b，b有很多情况，但这些情况只是细微的不同，此时，LU分解则在算法复杂度上具有一定的优势。该算法主要参照了Carl D.Meyer的一书。matlab编写。

代码如下：

%Programed by Lu Qi,University of Chinese Academy of Sciences
%my email:[email protected]
clear all
clc
A=[1 2 -3 4;4 8 12 -8;2 3 2 1;-3 -1 1 -4];
b=[3 60 1 5]';
[row colum]=size(A);
L=zeros(row);
U=zeros(row);
P_matrix=zeros(row);
P=[1:colum]';
for i=1:row
   [max_data index]=max(abs(A(i:row,i)));  %判断某列最大数的位置
   max_data=A(index+i-1,i);
   if index~=i        %进行主元的交换行
      temp=A(i,:);
      A(i,:)=A(index+i-1,:);
      A(index+i-1,:)=temp;
      temp=P(i);
      P(i)=P(index+i-1);
      P(index+i-1)=temp;
      temp=L(i,:);
      L(i,:)=L(index+i-1,:);
      L(index+i-1,:)=temp;
   end
   settle_num_row=row-i;
   for j=1:settle_num_row
      L(i+j,i)=A(i+j,i)/A(i,i);
      A(i+j,:)=A(i+j,:)-L(i+j,i).*A(i,:);
   end
end
L=L+eye(row);
for i=1:row
    for j=i:colum
        U(i,j)=A(i,j);
    end
end

for i=1:row
    P_matrix(i,P(i))=1;
end

Pb=P_matrix*b;
for i=1:row
    if i==1
       y(i)=Pb(i);
    else
        temp=0;
        for k=1:i-1
           temp=temp+L(i,k)*y(k);
        end
        y(i)=Pb(i)-temp;
    end
end
y=y';
for i=row:-1:1
    if i==row
        x(i)=y(i)/U(i,i);
    else
        temp=0;
        for k=i:row
            temp=temp+U(i,k)*x(k);
        end
         x(i)=(y(i)-temp)/U(i,i);
    end
end
x=x';
clear  j k index max_data settle_num_row temp
fprintf('x=\n');
for i=1:row
    fprintf('%d\n',x(i));
end
clear i

最终结果如下：

x=
12
6
-13
-15