DTOJ 4676. 小w的数列

题意

小w有一个长度为 $n$ 的环形数列，即 $a_i$ 与 $a_{i+1}$ 相邻， $a_n$ 与 $a_1$ 相邻。因此，每个数字都有且仅有两个邻居。

小w每分钟可以执行两种操作。

• MIN操作，将 $a_i$ 设置为它和它的两个邻居的值的最小值。
• MAX操作，将 $a_i$ 设置为它和它的两个邻居的值的最大值。

比如对于序列 $3,5,2$ ，对数字 $5$ 作MAX操作可以得到数列 $3,5,2$ ，作MIN操作可以得到数列 $3,2,2$ 。

小w想知道对于 $1$ 到 $m$ 的每个数字 $x$ ，将环形数列 $a$ 通过MIN操作和MAX操作变换到 $x$ 的最少操作次数。

对于 $10\%$ 的数据， $n\le 5,m\le 5$。
对于 $50\%$ 的数据， $n\le 1000,m\le 1000$。
对于 $100\%$ 的数据， $3\le n\le 200000,1\le m\le 200000$。

题解

容易想到贪心：对于一个数x，每两个x之间的数按照小于或大于它分为若干段，代价就是数的个数+段数。但如果有一段只有一个数，那么可先将它改小，这样可使答案-1。于是对于一些连续的只有一个数的段，它可使答案减少个数/2。
而直接用线段树维护是不好做的（考场+考后调到自闭）。此时应注意到每个数的状态只有0/1，而答案与每个数和前一个数的异或值有关。于是联想到异或差分：一段区间的答案即为这段区间的差分数组的连续1的段的长度/2之和。于是容易维护。