复变函数系列（三 ） - 复变函数的积分

复变函数的积分

Author : Benjamin142857

Date : 2018/10/1

1. 有关的几个定理与公式

1.1 C-R 方程

Cauchy Riemann equation - 柯西黎曼方程，对于 \(f(z) = u + iv\)

\[ \frac{\part u}{\part x} = \frac{\part v}{\part y} \\ \frac{\part u}{\part y} = -\frac{\part v}{\part x} \]

1.2 C-G 定理

Cauchy Goursat theorem - 柯西古萨定理，对于 \(f(z)\) 在D内解析
\[ \oint_cf(z)dz=0 \]

1.3 圈圈公式

\(c : |z-z_0|=r\)
\[ \oint_{c}\frac{dz}{(z-z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi i，(n=0) \\ 0，(n\neq0)\end{cases} \]

1.4 复合闭路定理

\(c\) 含 \(n\) 个奇点，每个奇点可以画个 \(c_k\) 小圆，\(k=1,2,...,n\)
\[ \oint_cf(z)dz = \sum_{k=1}^n\oint_{c_k}f(z)dz \]

1.5 Cauchy积分公式

\(f(z)\) 在 \(z_0\) 连续
\[ \oint_c\frac{f(z)}{z-z_0}dz = 2\pi if(z_0) \]

1.6 高阶导数公式

\[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz \]

1.7 Laplace方程

拉普拉斯方程，对于函数 \(\phi(x, y)\)
\[ \frac{\part^2\phi}{\part x^2} +\frac{\part^2\phi}{\part y^2}=0 \]

2. 常见形式的复变函数积分

[A] \(\int_cf(z)dz\) : 简单非闭合曲线积分

一般题目所给出的积分路径 \(c\) 在 \(f(z)\) 的解析区域内或 \(f(z)\) 全平面解析，根据 C-G定理，积分与路径无关，转为x,y重积分

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(x\in [0\rightarrow 2])\)

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\[ \int_c \overline z dz \\= \int_{(0, 0)}^{(2,0)}x-iydz + \int_{(2, 0)}^{(2,8)}x-iydz \\= \int_0^2xdx + \int_0^8(2-iy)idy\\=34+8i \]

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路径未必在解析区域内的万能做法，但计算复杂

例 ：求 \(\int_{c}\overline z dz,\ \ \ c : y=x^3(u(t)-u(t+2))\)

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\(x = t\)，\(y = t^3\)，\(t\in (0,2)\)

\(z = t+it^3\)

\(f(z) = t-it^3\)

\(\int_c \overline z dz = \int_0^2t-it^3d(t+it^3) = \int_0^2t+3t^5+i2t^3dt=34+8i\)

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[B] \(\oint_cf(z)dz\) : 任意函数闭合曲线积分

若在解析区域， C-G定理
\[ \oint_C f(z)dz = 0 \]

[C1] \(\oint_c\frac{1}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 单奇点

[圈圈公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[ \oint_{c}\frac{1}{(z-1)} dz = 2\pi i \]

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[C2] \(\oint_c \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 纯分母奇点函数积分 - 多奇点

[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[ \oint_{c}\frac{1}{(z-1)(z+1)} dz\\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 0 \]

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[D1] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次单奇点

[ 圈圈公式 + Cauchy积分公式 ]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)} dz \\= \oint_{c}\frac{1}{(z-1)}dz \\= 2\pi i \]

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[D2] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 一次多奇点

[复合闭路定理** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)(z+1)} dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{z}{z+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{z-1}}{(z+1)}dz \\= \oint_{c1}\frac{\frac{1}{1+1}}{(z-1)}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{-1}{-1-1}}{(z+1)}dz \\= 2\pi i \]

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[D3] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_0)^5}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次单奇点

[高阶导数公式** + 圈圈公式 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz,\ \ \ c : |z|=2\)

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\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)^5} dz \\= \frac{2\pi i}{4!}[z^{(4)}|_{z=1}]\\=0 \]

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[D4] \(\oint_c\frac{f(z)}{(z-z_1)^2(z-z_2)^3}dz\) : 带分子变量分母奇点函数积分 - 高次多奇点

[高阶导数公式** + 圈圈公式 + 复合闭路定理 + **Cauchy积分公式]

例 ：求 \(\oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz,\ \ \ c : |z|=3\)

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\[ \oint_{c}\frac{z}{(z-1)^2(z-2)^3} dz \\=\oint_{c1}\frac{\frac{z}{(z-2)^3}}{(z-1)^2}dz + \oint_{c2}\frac{\frac{z}{(z-1)^2}}{(z-2)^3}dz\\=\frac{2\pi i}{1!}[(\frac{z}{(z-2)^3})^{(1)}|_{z=2}] + \frac{2\pi i}{2!}[(\frac{z}{(z-1)^2})^{(2)}|_{z=1}]\\=不想算 \]

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3. 调和函数与偏微分法

调和函数 \(\phi(x, y)\)

• 在区域内具有二阶连续偏导
• 符合Laplace方程

[C-R方程]\(\Downarrow\)

区域内的解析函数 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) 实部与虚部均为调和函数

区域内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数

偏微分法

通过 \(u\) \(\Rightarrow\) \(v\) \(\Rightarrow\) \(u+iv\) 或 通过 \(v\) \(\Rightarrow\) \(u\) \(\Rightarrow\) \(u + iv\)

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