数值计算——追赶法求解三对角方程组（附代码）

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追赶法基础理论

追赶法c++程序代码

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追赶法基础理论

在数值计算中，对三次样条曲线插值和用差分方法求解常微分方程边值问题时，通常会遇到Ax=d三对角形式的方程组：

                                                                                                                 （1）

利用三对角矩阵的LU分解建立计算量更少的线性方程组求解公式，现将系数矩阵A进行克劳特分解，即A分解为下三角矩阵和单位上三角矩阵的乘积：

                                       （2）

计算的公式：

，

，，；                                                                                                                 （3）

求解Ax=d等价于求解Ly=d和Ux=y.

因而经过推导得到解三对角线性方程组的追赶法公式.

• 计算的递推公式：

          ，，；                                                                                 （4）

• 解Ly=d：

         ，，；                                                                      （5）

• 解Ux=y：

          ，，；                                                                                      （6）

整个求解过程是先有（4）式和（5）式计算和，这个过程称为由前到后“追”的过程；再由（6）式求出，这个过程是由后往前“赶”的过程，因此上述解法通常称为追赶法。

追赶法c++程序代码

#include 
#include 
#include  //参数化输入/输出 
using namespace std;
//*****************************
 //追赶法求解AX=B矩阵
//*****************************
vector Chasing_method(vector>a, vectord)
{
	int n = size(d);
	vectorx(n);
	vectoralpha(n);
	vectorgama(n);
	vectorbeta(n);
	vectory(n);
	alpha[0] = a[0][0];
	beta[0] = a[0][1] / a[0][0]; y[0] = d[0] / a[0][0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		gama[i] = a[i ][i - 1];
		alpha[i] = a[i][i] - gama[i] * beta[i - 1];
		if (i < n- 1)
		{
			beta[i] = a[i ][i + 1] / alpha[i];
		}
		y[i] = (d[i] - a[i][i - 1] * y[i - 1]) / alpha[i];
	}
	x[n- 1] = y[n- 1];
	for (int i = n- 2; i >= 0; i--)
	{
		x[i] = y[i] - beta[i] * x[i + 1];
	}
	return x;
}
int main()
{
	vector>a(4, vector(4));
	vectorb(4);
	vectorx(4);
	a[0] = { 3,4,0,0 }; a[1] = { 1,4,1,0 }; a[2] = { 0,1,6,1 }; a[3] = {0,0,2,8 };
	b = { 10,11,30,48 };
	x = Chasing_method(a, b);
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		for (int j = 0; j < 4; j++)
		{    
			cout << fixed << setw(8) << setprecision(4) << a[i][j];
		}
		cout << fixed << setw(8) << setprecision(4) << b[i] << endl;
	}
	cout << "追赶法求解：" << endl;
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		cout<<"x"<

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