数值分析之牛顿拉夫森迭代（牛顿法）

@数值分析之非线性方程求解

一、牛顿拉夫森迭代

当f(x)，f’(x)，f’’(x)在根p附近连续，则可将它作为f(x)的特性，用于开发产生收敛到根p的序列{Pk}的算法。该方法相较二分法、试值法，产生序列{Pk}的速度快。

牛顿拉夫森法 依赖于f’(x)，f’’(x)的连续性，简称牛顿法，是这类方法中已知最有用和最好用的方法之一。

1.1 牛顿拉夫森法

1.1.1 牛顿-拉夫森定理：

注意：如果不想使用导数，可以使用割线法。割线法采用了试值法中斜率的不同表示来得到c的过程，来代替f’(pk)。
即：f’(pk) = (f(pk) - f(pk-1))/(pk - pk-1)

1.1.2 matlab版算法：

二、题目及实现代码

2.1 题目

在考虑空气阻力情况下，求解投射体撞击地面时经过的时间和水平飞行行程，其中方程为（y为高度）：
y=f(t)=9600*(1-e**(-t/15.0)) - 480t；
x=r(t)=2400(1-e**(-t/15.0))。

2.2 输入输出格式

【输入形式】输入3个数，分别表示起始值、前后两次迭代的差的绝对值精度和f(t)函数值的精度。各数间都以一个空格分隔。

【输出形式】第一行输出投射体撞击地面时经过的时间，第二行输出水平飞行行程，精确到小数点后5位。

2.3 样例

输入

8 1 1

输出

9.08955
1090.69211

2.4 思路和要点

思路：先对y函数求出时间t，再带入x函数得水平距离。

2.5 代码

import numpy as np

def f(t):
    return 9600*(1-np.e**(-t/15)) - 480*t
def r(t):
    return 2400*(1-np.e**(-t/15))
def f_der(t):
    return 640*np.e**(-t/15) - 480

def main():
    n = np.array(input().split(),dtype = np.float)
    p0 = n[0]
    delta = 10**(-int(n[1]))
    epsilon =10**(-int(n[2]))
    while True:
        p = p0 - f(p0)/f_der(p0)
        err = abs(p - p0)
        relerr = 2*err/(abs(p)+delta)
        p0 = p
        if err<delta or relerr<delta or abs(f(p0))<epsilon:
            break
    print("%.5f"%p0)
    print("%.5f"%r(p0))

if __name__ =='__main__':
    main()

2.6 结果

样例：