杜利特尔 (Doolittle)矩阵分解法求线性方程组的解

简介

　
　若方阵 A 可以分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U的乘积，即 A = LU，则这种分解称为 A 的一种三角分解或 LU分解。如果 L 为单位下三角矩阵，则称为杜利特尔 (Doolittle)。
　以四阶矩阵为例，可分解为以下形式：

实例

代码

#include
using namespace std;

int n;
double a[100][100],b[100],l[100][100],u[100][100],y[100],x[100];

void input(){
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
			cin>>a[i][j];
		cin>>b[i]; 
	} 
}

void Doolitte()
{
	for(int i=0;i<n;i++)	
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			l[i][i] = 1;
			if(j>i) l[i][j] = 0;
			if(j<i) u[i][j] = 0;
		}
	} 
	for(int k=0; k<n; k++) {
        for(int j=k; j<n; j++) {           // dolittle分解
            u[k][j]=a[k][j];
            for(int i=0; i<=k-1; i++)
                u[k][j]-=(l[k][i]*u[i][j]); 
        }
        for(int i=k+1; i<n; i++) {
            l[i][k]=a[i][k];
            for(int j=0; j<=k-1; j++)
                l[i][k] -= (l[i][j]*u[j][k]);
            l[i][k]/=u[k][k]; 
        }
    }
    
    for(int i=0; i<n; i++) { // 解Ly = b
        y[i] = b[i];
        for(int j=0; j<=i-1; j++)
            y[i] -= (l[i][j]*y[j]);
    }

    for(int i=n-1; i>=0; i--){ // 解UX = Y
        x[i]=y[i];
        for(int j=i+1; j<n; j++)
            x[i] -= (u[i][j]*x[j]);
        x[i]/=u[i][i];
    }
}

int main()
{
	cout<<"输入系数矩阵的阶数"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"输入系数矩阵"<<endl;
	input(); 
	Doolitte();
	for(int i=0;i<n;i++)
		cout<<x[i]<<" ";
	cout<<endl; 
	return 0;
 } 

结果是：