不定方程(二元一次 )求解的个数问题(代码优化尝试)

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给定一个二元一次方程： ax+by=c

输入a b c，然后输出所有可能解的个数。

限定条件: a,b,c 均为正整数，x,y为非负整数。

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分析：首先，二元一次方程的解经上述条件的限制，必定有有限个解。而对于 ax+by=c 猜测(a,b,c,x,y 均为整数)：

(1) 当 a < b时：方程至多有 m=c/a 个解。
(2) 当 b < a时：方程至多有 m=c/b 个解。
可以用此条件来减少些计算量。（代码中未采用）

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以下为没有改进过的代码（执行次数多）

#include
#include
#include

using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
using std::endl;

int count;


int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    int x, y;
    count = 0;
    for (x = 0; x <= 1000; x++)     //直接使用两个for循环
    {
        for (y = 0; y <= 1000; y++)
        {
            if ((a*x + b*y) == c) count++;
        }
    }
    cout<":"<< count << endl;


    system("pause");
    return 0;
}

这里用a=1 b=3 c=18为例子
共执行了1001*1001=1002001次循环。(始终执行1002001次)
时间消耗0.004s左右

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优化_1：
开头的猜测：
(1) 当 a < b时：方程至多有 m=c/a 个解。
(2) 当 b < a时：方程至多有 m=c/b 个解。
代码：

if(a<=b) temp_1 = c / a;     //替换的核心部分
    else temp_1 = c / b;



    for (x = 0; x <= temp_1; x++)
    {
        for (y = 0; y <= temp_1; y++)
        {
            if ((a*x + b*y) == c) count++;
            sum++;
        }
    }

用a=1 b=3 c=18为例子：
此时： 循环次数：361 时间：0.001s

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进一步的优化：

在限制条件下，x必然小于等于c/a, y必然小于等于c/b 。

    temp_1 = c / a;    //替换的核心部分，将范围变小
    temp_2 = c / b;

    for (x = 0; x <= temp_1; x++)
    {
        for (y = 0; y <= temp_2; y++)
        {
            if ((a*x + b*y) == c) count++;
            sum++;
        }
    }

这里也用a=1 b=3 c=18为例子：
这一次：执行了133次循环，时间为1毫秒(0.001s)

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由此可见：最后一种改进最大程度上限制了x,y的范围。在保证正确结果的情况下，有效地减小了消耗。