解线性方程组的直接方法:LU分解法及其C语言算法实现

在上一篇博客里面,笔者介绍了解线性方程组的列主元Guass消元法,这篇将介绍LU分解法及其算法实现.
什么是LU分解?
对于一个线性方程组Ax=b,其中A是非奇异系数矩阵,b是线性方程组右端项,在列主元Guass消元法里面我们知道,最后的系数矩阵A将变成一个上三角矩阵,并且是通过一系列的行变换而来的,设最后得到的上三角矩阵为U,结合高等代数的知识,一个矩阵左乘一个初等矩阵,相当于进行一次行变换,因此设每一次A左乘的初等矩阵为Li(i=1,2,…,n),则有LnL(n-1)…L1A=U,由于Ln均为初等矩阵,且均为下三角单位矩阵(因为每次A进行消元所做的行变换均是从上面的行消去下面的行),所以设L=LnL(n-1)*…*L1,LA=U,A=L^-1U,L^-1也为单位下三角矩阵,然后得到了A=LU,我们可以设Ux=y,Ly=b,由于L为下三角矩阵,求解难度较小,因此通过求解y向量,再由Ux=y求解x,这便是LU分解全部步骤了,对于LU分解矩阵的详细计算过程,大家可以参考这个网站link
接下来话不多说,上代码
初始化矩阵

double** init_Matrix(int r, int c)
{
	double** p = new double* [r];
	int d = c + 1;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		p[i] = new double[d];
		memset(p[i], 0, sizeof(double) * d);
	}
	cout << "请输入线性方程组对应的增广矩阵:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		for (int j = 0; j < d; j++)
		{
			cin >> p[i][j];
		}
	}
	return p;
}

进行LU分解

void LU_Position(double**a,int r ,int c)
{
	double num1 = 0,num2=0;
	for (int i=0;i<r;i++)
	{
		if (i==0)//第一行不做处理,单独算第一列
		{
			for (int j = 1; j < c; j++)
			{
				a[j][i] = a[j][i] / a[0][0];
			}
		}
		else
		{
			for (int j = i; j < c; j++)
			{
				num1 = 0;
				for (int k = 0; k < i; k++)
				{
					num1 += a[i][k] * a[k][j];
				}
				a[i][j] = a[i][j] - num1;
			}
			for (int j = i+1; j < r; j++)
			{
				num2 = 0;
				for (int k = 0; k < i; k++)
				{
					num2 += a[j][k] * a[k][i];
				}
				a[j][i] = (a[j][i] - num2) / a[i][i];
			}
		}
	}
	cout << "所得的LU矩阵为:" << endl;
	for (int k = 0; k < r; k++)
	{
		for (int n = 0; n < c; n++)
		{
			printf("%f\t", a[k][n]);
		}
		cout << endl;
	}
}

注意:此时我们得到了LU,由于这两个矩阵均为稀疏矩阵,且拼接后大小与A矩阵相同,因此我们一直接将计算的两个矩阵储存在A矩阵中(A中最后一列为右端项,不进行处理),这部分计算大家特别要注意的是数组的行列下边关系
计算y向量及x向量

void calculate(double*y, double*x, double**a,int r)
{
	y[0] = a[0][r];
	double sum=0;
	for (int i = 1; i < r; i++)
	{
		sum = 0;
		for (int k = 0; k < i; k++)
		{
			sum += a[i][k] * y[k];
		}
		y[i] = a[i][r] - sum;
	}
	cout << "所求的向量Y为:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		printf("%f\t", y[i]);
	}
	cout << endl;
	for (int i = r-1; i >=0; i--)
	{
		sum = 0;
		for (int j=i+1;j<r;j++)
		{
			sum += a[i][j] * x[j];
		}
		x[i] = (y[i] - sum) / a[i][i];
	}
	cout << "所求线性方程组的解向量X为:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		printf("%f\t", x[i]);
	}
	cout << endl;
}

这里我们将得到的y向量储存在数组y中
程序完整代码

#include
#include
using namespace std;
/*
测试数据

2 2
2 3  5
1 -1 0

3 3
3 2 -3 -2
1 1  1  6
1 2 -1  2

3 3
1  2 -3 1
2 -1  3 5
3 -2  2 1

4 4
4 -3  6  7 11
1  1  3  4 10
-2 9 -7  1 10
3  3 -4 20 25

5 5
28 -3   0   0  0  10
-3 38 -10   0 -5  0
0 -10  25 -15  0  0
0  0  -15  45  0  0
0 -5    0   0  30 0
*/
double** init_Matrix(int r, int c)
{
	double** p = new double* [r];
	int d = c + 1;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		p[i] = new double[d];
		memset(p[i], 0, sizeof(double) * d);
	}
	cout << "请输入线性方程组对应的增广矩阵:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		for (int j = 0; j < d; j++)
		{
			cin >> p[i][j];
		}
	}
	return p;
}
//直接用A来储存LU和方程组右边的常数项 进行LU分解时 右边常数项不做处理 即最后一列全部不处理
void LU_Position(double**a,int r ,int c)
{
	double num1 = 0,num2=0;
	for (int i=0;i<r;i++)
	{
		if (i==0)
		{
			for (int j = 1; j < c; j++)
			{
				a[j][i] = a[j][i] / a[0][0];
			}
		}
		else
		{
			for (int j = i; j < c; j++)
			{
				num1 = 0;
				for (int k = 0; k < i; k++)
				{
					num1 += a[i][k] * a[k][j];
				}
				a[i][j] = a[i][j] - num1;
			}
			for (int j = i+1; j < r; j++)
			{
				num2 = 0;
				for (int k = 0; k < i; k++)
				{
					num2 += a[j][k] * a[k][i];
				}
				a[j][i] = (a[j][i] - num2) / a[i][i];
			}
		}
	}
	cout << "所得的LU矩阵为:" << endl;
	for (int k = 0; k < r; k++)
	{
		for (int n = 0; n < c; n++)
		{
			printf("%f\t", a[k][n]);
		}
		cout << endl;
	}
}
void calculate(double*y, double*x, double**a,int r)
{
	y[0] = a[0][r];
	double sum=0;
	for (int i = 1; i < r; i++)
	{
		sum = 0;
		for (int k = 0; k < i; k++)
		{
			sum += a[i][k] * y[k];
		}
		y[i] = a[i][r] - sum;
	}
	cout << "所求的向量Y为:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		printf("%f\t", y[i]);
	}
	cout << endl;
	for (int i = r-1; i >=0; i--)
	{
		sum = 0;
		for (int j=i+1;j<r;j++)
		{
			sum += a[i][j] * x[j];
		}
		x[i] = (y[i] - sum) / a[i][i];
	}
	cout << "所求线性方程组的解向量X为:" << endl;
	for (int i = 0; i < r; i++)
	{
		printf("%f\t", x[i]);
	}
	cout << endl;
}
void LU_position_main() {
	cout << "输入矩阵的行列:" << endl;
	int i = 0, j = 0;
	cin >> i >> j;
	double** p = init_Matrix(i, j);
	LU_Position(p, i, j);
	double* a = new double[i];
	memset(a, 0, sizeof(double) * i);
	double* b = new double[i];
	memset(b, 0, sizeof(double) * i);
	calculate(a, b, p, i);
	delete[]a;
	delete[]b;
	for (int i = 0; i < j; i++)
	{
		delete[]p[i];
	}
	delete[]p;
}
int main(void) {
	LU_position_main();
	system("pause");
	return 0;
}

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