矩阵消元

消元法

有方程组$\{\begin{array}{r}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$，写成矩阵形式$Ax=b$为$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 2\end{array}\right]$

消元法的思路：

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]\text{row2-3row1}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]\text{row3-2row2}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]=U$，U的对角线上的元素为三个主元。首先，主元不能为零；其次，如果在消元时遇到主元位置为零，则需要交换行，使主元不为零。当消元失效时，将不能得到三个主元。

下面进行回代，将矩阵$\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]$称为增广矩阵。有$\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 3& 8& 1& 12\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 4& 1& 2\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 2\\ 0& 2& -2& 6\\ 0& 0& 5& -10\end{array}\right]$，此时方程组变为$\{\begin{array}{r}x+2y+z=2\\ 2y-2z=6\\ 5z=-10\end{array}$，很容易解出$x=2,y=1,z=-2$

消元矩阵

下面介绍用行来计算矩阵乘法：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cdots & ro{w}_1& \cdots \\ \cdots & ro{w}_2& \cdots \\ \cdots & ro{w}_3& \cdots \end{array}\right]=1\times ro{w}_1+2\times ro{w}_2+7\times ro{w}_3$$

从矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$到矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$是第二行减去3倍的第一行，第一、三行不变，则有
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 8& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$$
将消元矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$记作$E_{21}$，表示第二行第一个元素变为零。同理有
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 4& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 2& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$
将消元矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& -2& 1\end{array}\right]$记作$E_{32}$，$E_{21}、E_{32}$都为初等矩阵。将上面两步综合起来有
$$E_{32}(E_{21}A)=U$$
由于矩阵乘法满足结合律，又可以写成
$$(E_{32}{E}_{21})A=U$$
下面介绍一种用于置换两行或两列的矩阵，称为置换矩阵，例如：
$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$$
如果交换两列则有
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right]$$
总结：在左边用矩阵做乘法进行的是行变换，在右边用矩阵做乘法进行的是列变换。即列变换时右乘，行变换时左乘。

逆

通过消元可以将矩阵$A$变换为$U$，那么将$U$变回$A$的过程称为逆变换。在这里先简单提一下矩阵的逆，这里以$E_{21}$为例：

$E_{21}$将$A$的第二行减去3倍的第一行，那么其逆变换为第二行加3倍的第一行，所以逆矩阵为$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，我们把$E$的逆记作$E^{-1}$，有$E^{-1}E=I$，有
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$