线性代数(八) : 消元法和矩阵的初等变换

几乎所有的和矩阵相关的操作都会用到初等变换,如求逆矩阵,求矩阵的秩,求线性方程组的解或者求矩阵的零空间(也叫矩阵的核):

1 消元法解线性方程组：

对于一个线性方程组，如：

在对这个方程组应用消元法求解的时候,通常会应用以下三种变换,并且每一种变换都不会改变方程组的解：

(i)交换方程组中任意两个方程的位置.

(ii)用一个数乘某一个方程的左右两边.

(iii)将一个方程的两边乘一个数然后加到另一个方程上.

以上就是消元法的基本方法.

2 方程组与矩阵

该方程组可以写成以下的矩阵乘向量(利用矩阵乘法展开后可以得到原方程组):

左边的矩阵称为系数矩阵,将等式右边的矩阵(这里是只有一列的矩阵.)和左边的写在一起，就组成了增广矩阵，增广矩阵用于判断线性方程组解的情况并求解：

（注:上图中的竖线可以没有）

3 矩阵的初等行变换;

在得到增广矩阵后我们可以按照消元法的思想对该矩阵进行变换,也就是执行上边描述的三中变换，

这三种变换称为矩阵的初等行变换(因为是针对矩阵的行)：

若把上边定义中的行换成列就是初等列变换:初等行变换和初等列变换统称为初等变换.

4 矩阵的等价

利用矩阵的初等变换我们可以得到几个非常有用的和原矩阵等价的矩阵.这将在下一节介绍