AtCoder Beginner Contest 172 E - NEQ（二项式反演）
AtCoder Beginner Contest 172 E - NEQ
题意：
求满足下列条件的长度为 N N N且包含 [ 1 , M ] [1, M] [1,M]范围内整数的序列 A 1 , A 2 , ⋯ , A N A_1, A_2, \cdots, A_N A1,A2,⋯,AN及 B 1 , B 2 , ⋯ , B N B_1, B_2, \cdots, B_N B1,B2,⋯,BN组成的序列对数量。
- ∀ 1 ≤ i < j ≤ N , A i ≠ A j ∧ B i ≠ B j \forall 1 \le i \lt j \le N, \; A_i \neq A_j \land B_i \neq B_j ∀1≤i<j≤N,Ai=Aj∧Bi=Bj
- ∀ 1 ≤ i ≤ N , A i ≠ B i \forall 1 \le i \le N, \; A_i \neq B_i ∀1≤i≤N,Ai=Bi
分析：
条件① —— 保证序列A, B内所有数唯一 很好满足，接下来看条件② —— 序列A, B的对应位置的数不同。
显然要让对应位置的数不同情况会很复杂，但至多有 K K K个位置的数不同的情况却很容易求解，因为这等价于有 至少 N − K N-K N−K个位置的数相同。
设：
f ( K ) f(K) f(K)：序列内各数唯一且至多有 K K K个对应位置的数不同（至少 N − K N-K N−K个对应位置的数相同）的情况数；
g ( K ) g(K) g(K)：序列内各数唯一且恰有 K K K个特定的对应位置的数不同的情况数；
易得：
f ( N ) = ∑ K = 0 N ( N K ) g ( K ) f(N) =\sum_{K=0}^N \binom{N}{K}g(K) f(N)=K=0∑N(KN)g(K)根据二项式反演可得：
g ( N ) = ∑ K = 0 N ( − 1 ) N − K ( N K ) f ( K ) g(N) = \sum_{K=0}^N (-1)^{N-K} \binom{N}{K} f(K) g(N)=K=0∑N(−1)N−K(KN)f(K)则答案即为 g ( N ) 。 g(N)。 g(N)。
根据至少 N − K N-K N−K个对应位置的数相同，可知 f ( K ) = P M N − K × ( P M − N + K K ) 2 f(K) = P_M^{N-K} \times (P_{M-N+K}^K)^2 f(K)=PMN−K×(PM−N+KK)2
则最终答案如下：
g ( N ) = ∑ K = 0 N ( − 1 ) N − K ( N K ) P M N − K × ( P M − N + K K ) 2 g(N) = \sum_{K=0}^N (-1)^{N-K} \binom{N}{K} P_M^{N-K} \times (P_{M-N+K}^K)^2 g(N)=K=0∑N(−1)N−K(KN)PMN−K×(PM−N+KK)2
代码：
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