AtCoder Beginner Contest 172 E - NEQ（二项式反演）

AtCoder Beginner Contest 172 E - NEQ

题意：

求满足下列条件的长度为 $N$且包含 $[1,M]$范围内整数的序列 $A_1,A_2,\cdots ,A_N$及 $B_1,B_2,\cdots ,B_N$组成的序列对数量。

• $\forall 1\le i<j\le N,A_i\ne A_j\wedge B_i\ne B_j$
• $\forall 1\le i\le N,A_i\ne B_i$

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分析：

条件① —— 保证序列A, B内所有数唯一 很好满足，接下来看条件② —— 序列A, B的对应位置的数不同。

显然要让对应位置的数不同情况会很复杂，但至多有$K$个位置的数不同的情况却很容易求解，因为这等价于有 至少$N-K$个位置的数相同。

设：
$f(K)$：序列内各数唯一且至多有 $K$个对应位置的数不同（至少 $N-K$个对应位置的数相同）的情况数；
$g(K)$：序列内各数唯一且恰有$K$个特定的对应位置的数不同的情况数；

易得：
$$f(N)=\sum _{K=0}^N\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K}\right)g(K)$$根据二项式反演可得：
$$g(N)=\sum _{K=0}^N(-1{)}^{N-K}(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K})f(K)$$则答案即为$g(N)。$

根据至少 $N-K$个对应位置的数相同，可知 $f(K)=P_M^{N-K}\times (P_{M-N+K}^K{)}^2$

则最终答案如下：
$$g(N)=\sum _{K=0}^N(-1{)}^{N-K}(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{K})P_M^{N-K}\times (P_{M-N+K}^K{)}^2$$

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代码：

#include 
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 5e5 + 10;
int N, M;
LL fact[maxn], fact_inv[maxn];
LL qpow(LL a, LL b)
{
    LL res = 1;
    a %= MOD;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
void preprocess()
{
    fact[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= M; i++)
        fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;
    fact_inv[M] = qpow(fact[M], MOD - 2);
    for(int i = M; i >= 1; i--)
        fact_inv[i-1] = fact_inv[i] * i % MOD;
}
LL comb(int a, int b)
{
    if(a < 0 || b < 0 || a < b)
        return 0;
    else
        return fact[a] * fact_inv[b] % MOD * fact_inv[a-b] % MOD;
}
LL perm(int a, int b)
{
    if(a < 0 || b < 0 || a < b)
        return 0;
    else
        return fact[a] * fact_inv[a-b] % MOD;
}
int main()
{
    scanf("%d %d", &N, &M);
    preprocess();
    LL ans = 0;
    for(int K = 0; K <= N; K++)
        ans = (ans +  qpow(-1, N - K) * comb(N, K) % MOD * perm(M, N - K) % MOD * qpow(perm(M - N + K, K), 2) % MOD) % MOD;
    printf("%lld\n", (ans % MOD + MOD) % MOD);
    return 0;
}