图论基础知识

图论基础知识

• 点（vertices），边（edge）

• 图G=(V，E)各条边都加上方向的图称为有向图，否则称为无向图。如果有的边有方向，有的边无方向，则称为混合图。

• 任两顶点间最多有一条边(两点间有不止一条边：重边)，且每条边的两个端点皆不重合的图(一条边围成圈，只过一个点：自边/圈)，称为简单图。

• 图G的顶点数n和边数e的关系

  1. 若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2
     恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undireet-ed Complete Graph)
  2. 若G是有向图，则0≤e≤n(n-1)。
     恰有n(n-1)条边的有向图称为有向完全图(Directed Complete Graph)

• 赋权图是指每条边都有一个(或多个)实数对应的图，这个(些)实数称为这条边的权(每条边可以具有多个权)。赋权图在实际问题中非常有用。根据不同的实际情况，权数的含义可以各不相同。例如，可用权数代表两地之间的实际距离或行车时间，也可用权数代表某工序所需的加工时间等。

• 若两个点之间有一条边，则这两个点相邻。关联一个点的边的条数称为是度数（degree）或价（valency）。称G为k-正则图，当G的所有顶点都有相同的顶点度k。特别的，3-正则图被称作立方图。

• 度

• 完全偶图指完全二分图，不是全都是偶点的图（（

• 一个图的独立集是图中一些两两不相邻的顶点所形成的集合。

• 一个图的团是图中一些两两相邻的顶点所形成的集合。

• 连通图

  一个图或者有向图如果“只有一块”，据此任何两个顶点之间都可以通过一条路连接，这样的图称为连通的（connected）。一个“超过一块”的图或者连通图被称为不连通的（disconnected）。**连通性（connection）**是图论一个重要的研究对象。

路径定义

• 图上随便连：定义链chain（途径walk），再定义迹（边互不相同的链），再定义路（内部点互不相同的迹）。然后定义闭链（起始点相同的无论链、迹、路），而闭链中的闭迹为回路circuit，闭链中的闭路为圈（环）cycle。

• 圈就是顶点各不相同的闭通道。
  这实际上隐含了不存在一条线把这个闭通道展开后围成的区域分为两块。
  你可以想象一个圈，翻来复去的对折，最后在上面点上顶点，只要不是定住交点的位置，总是可以展回一个圈的。

• 根据迹和路的定义，圈是闭迹，闭迹不一定是圈。

欧拉图，哈密顿图区分

• 欧拉图：对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称E图。

  白话：

  欧拉回路：若存在一条从起点S出发的路径，每条边恰好只走一次，最终回到起点S。

  欧拉路径：若存在一条从起点S出发的路径，经过每条边一次，但是不要求回到起点S。(一笔画问题的要求)

  存在欧拉回路的无向图被称为欧拉图

  有欧拉通路,但无欧拉回路的图被称为半欧拉图。

  上图是一个半欧拉图。

• 欧拉回路和欧拉通路的判断

  • 有向图的欧拉回路：每个点的入度和出度都要相等
  • 有向图的欧拉路径：起点度-1 终点度是1 其余点 为0
  • 无向图的欧拉回路：每个点的度都是偶数
  • 无向图的欧拉路径：只有两个点的度是奇数
    

• 哈密顿图：如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，即存在H圈的图称为哈密顿图，简称H图。

  哈密顿回路（哈密顿圈）：除了经过初始结点两次以外，通过图G的每个节点一次且仅一次的回路

  哈密顿通路（哈密顿路）：通过图G的每个节点一次且仅一次的通路

• 目前还没有一种方法能够证明一个图是否存在哈密顿回路 (没有一个充分必要条件 可以证明)
  但是哈密顿回路的存在有许多充分条件，则即当图满足特定的性质的时候，哈密顿回路一定存在而且可以根据一定的算法构造出来。

  1. Dirac定理:设一个无向图中有 N 个节点，若所有节点的度数都大于等于 N/2，则哈密顿回路一定存在。
  2. 竞赛图（有向完全图，任意两个顶点之间恰好有一条有向边）：n(n>=2)阶竞赛图一定存在哈密顿通路。