【自主训练B：dp递推】B ：Dropping water balloons

自主训练B：B 题：Dropping water balloons

【难度】

$4/10$
多理解一下吧

【题意】

楼高 $N$
你有 $K$ 个相同的水球。
水球有一个相同的抗击打系数，表现为：
在某一特定楼层以下扔球都不会破，高于其特定楼层一定会破。
当然，球破掉了就不能用了。
问你：最多试几次，就可以知道水球的抗击打系数？

如果尝试次数超过63次，输出“More than 63 trials needed.”

【数据范围】

$1\le k\le 100$
$1\le n\le 2^{64}$，反正是$int64$范围内的。

(Time limit 3000 ms)
多组样例，0 0结束

【输入样例】

2 100
10   \, 786599
4 786599
60 1844674407370955161
63 9223372036854775807
0 0

【输出样例】

14
21
More than 63 trials needed.
61
63

【思路】

关于双蛋问题，我们有 $O(K\times N^2)$的DP转移，不过这题 $N$ 非常大。
那么我们考虑其他状态：
把 $N$ 当做状态答案，把测试次数 $ans$ 和 可用水球数 $K$当做状态。

定义如下：
$$dp[i][j]表示测试了i次，水球最多破j次\text{测试了i次，水球最多破j次}测试了i次，水球最多破j次，最多能判断出多大范围内的答案$$
【注意：】
$j$ 表示水球最多破 $j$ 次，而不是已经破了 $j$ 次，否则递推状态有误。

考虑状态转移方程：

若当前为 $dp[i][j]$ ，是从测试了 $i-1$次转移过来的。
若这次水球破了，那么$dp[i][j]包括了dp[i-1][j-1]$所能测出的范围
若这次水球没破，那么$dp[i][j]包括了dp[i-1][j]$所能测出的范围
当然，你这次测试的那层楼已经被你测试过了，判断范围自然增加了这个1。

那么状态转移方程为：

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]+1$$

对于题目给定了的 $K$ ，不断枚举答案，使得第一次满足 $dp[ans][k]\ge n\text{dp[ans][k]≥n}dp[ans][k]\ge n$ 即为答案。

【核心代码】

时间复杂度：$O(N\times K+64T)$
这题$N$最大64，$K$ 最大100，因此时间复杂度特别低。
Time(ms) 0
Mem(MB) 0
对的，时空复杂度都很低。

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 100+50;

ll dp[MAX][MAX];

int main()
{
    for(int i=1;i<=64;++i){
        for(int j=1;j<=100;++j){
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] + 1;
        }
    }
    int k;
    ll n;
    while(~scanf("%d%lld",&k,&n) && k && n){
        int ans = 64;
        for(int i=0;i<=63;++i){
            if(dp[i][k]>=n){
                ans = i;
                break;
            }
        }
        if(ans == 64)printf("More than 63 trials needed.\n");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}