Leetcode——1406.石子游戏III

石子游戏III

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。几堆石子排成一行，每堆石子都对应一个得分，由数组 stoneValue 给出。

Alice 和 Bob 轮流取石子，Alice 总是先开始。在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下石子中的的前 1、2 或 3 堆石子 。比赛一直持续到所有石头都被拿走。

每个玩家的最终得分为他所拿到的每堆石子的对应得分之和。每个玩家的初始分数都是 0 。比赛的目标是决出最高分，得分最高的选手将会赢得比赛，比赛也可能会出现平局。

假设 Alice 和 Bob 都采取 最优策略 。如果 Alice 赢了就返回 “Alice” ，Bob 赢了就返回 “Bob”，平局（分数相同）返回 “Tie” 。

示例1

输入：values = [1,2,3,7]
输出：“Bob”
解释：Alice 总是会输，她的最佳选择是拿走前三堆，得分变成 6 。但是 Bob

示例2

输入：values = [1,2,3,-9]
输出：“Alice”
解释：Alice 要想获胜就必须在第一个回合拿走前三堆石子，给 Bob 留下负分。
如果 Alice 只拿走第一堆，那么她的得分为 1，接下来 Bob 拿走第二、三堆，得分为 5 。之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，输掉比赛。
如果 Alice 拿走前两堆，那么她的得分为 3，接下来 Bob 拿走第三堆，得分为 3 。之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，同样会输掉比赛。
注意，他们都应该采取 最优策略 ，所以在这里 Alice 将选择能够使她获胜的

示例3

输入：values = [1,2,3,6]
输出：“Tie”
解释：Alice 无法赢得比赛。如果她决定选择前三堆，她可以以平局结束比赛，否则她就会输。

示例4

输入：values = [1,2,3,-1,-2,-3,7]
输出：“Alice”

提示

$1\le values.length\le 50000$

$-1000\le values[i]\le 1000$

题解

有趣的一道零和博弈的题，每堆石子有个分数。

设$dp[i]$表示$[i\cdots n]$堆的石子中先手最大得到的分数。

那么显然$dp[n]$表示$[n\cdots n]$堆的石子最大的得分就是$stoneValue[n]$， 即$dp[n]=stoneValue[n]$

那么对于其他的$dp[i]$有三种选择

• 取一堆石子，能够得到的分数为$stoneValue[i]+sum[i+1]-dp[i+1]$

其中$sum[i+1]$表示$[i+1\cdots n]$的石子分数和，那么$sum[i+1]-dp[i+1]$表示先手后能够再得到的分数

同理

• 取两堆石子，能够得到的分数为$stoneValue[i,i+1]+sum[i+2]-dp[i+2]$
• 取三堆石子，能够得到的分数为$stoneValue[i,i+1,i+2]+sum[i+3]-dp[i+3]$

那么对于得到分数方程可以化简一下$stoneValue[i]+sum[i+1]=sum[i]$

那么最终的转移方程为
$$dp[i]=\max sum[i]-dp[i+j]fori=1\cdots 3$$
最终的结果就是查看

$sum[1]-dp[1]$与$dp[1]$的关系，得到最终的结果。

代码

func max(a, b int) int {
    if a> b{
        return a
    }
    return b 
}
func stoneGameIII(stoneValue []int) string {
    var dp [51000]int 
    var sum int  = 0
    n := len(stoneValue)
    for i := n-1;i>=0;i-- {
        sum += stoneValue[i]
        dp[i] = -0x7FFFFFFE
        for j:=1;j<=3;j++{
            dp[i] = max(dp[i], sum-dp[i+j])
        }
    }
    if sum - dp[0] == dp[0] {
        return "Tie"
    } else if sum-dp[0] < dp[0] {
        return "Alice"
    } else {
        return "Bob"
    }
}