【牛客练习赛67：贪心博弈（附证明）】C ：牛牛爱博弈

牛客练习赛67：C 题 牛牛爱博弈

【难度】

做题难度$2/10$
证明难度$3.5/10$

【题意】

一共有 $n$ 个石子。每个人轮流拿石子，但是每人每次只能拿$q$个石子。
$q\in \{1,2,4,\cdots ,2^k\}$
谁拿走最后一颗石子即获胜。
$Alan$ 先拿， $Frame$ 后拿。问谁一定获胜？

【数据范围】

$样例组数T\le 10^3$
$1\le n\le 2\times 10^9$

【输入样例】

T 样例组数
n 石子数

6

1
2
3
17
18
19

【输出样例】

Alan
Alan
Frame
Alan
Frame
Alan

【思路】

简单枚举做法
$（1）手模！$
$（2）分析+代码$

考虑博弈的获胜状态。P态表示对于前一个玩家必胜，N态表示对当前玩家必胜。
首先终止状态（$n=0$）是P态。
$$\begin{gathered} 若对于某个状态的所有后继状态都是P态，则该状态为N态。 \\ 若对于某个状态的其中一个后继状态是N态，则该状态为P态。 \end{gathered}$$

观众：（说人话！）

$【言简意赅的解释】$
简单说，就是如果你某步操作完后，对手怎么操作他都输，那么你一定获胜。
如果你不管怎么操作后，对手总有一种操作方法他能赢，那么你一定输。

进行$dfs$模拟，计算即可。

【模拟代码】

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
int dfs(int);
int dfs2(int);
int dfs2(int x){
    int ke = 0;
    for(int i=1;!ke && i<=x;i*=2){
        ke |= dfs(x - i);		/// 若对手有一种赢的，那你就输了
    }
    return !ke;
}
int dfs(int x){
    int ke = 0;
    for(int i=1;!ke && i<=x;i*=2){
        ke |= dfs2(x - i); 		 /// 若对手有一种赢的，那你就输了
    }
    return !ke;
}
int main()
{
    for(int n = 1;n<=20;++n){
        if(dfs(n))show2(n,"B");
        else show2(n,"A");
    }
    return 0;
}

然后观察一下结果，发现：

$$n时为P态⟺n\%3=0$$

这么一交，果然就过了。接下来我们来分析一下为什么这样是正确的。

【证明】

首先，我们需要用到$SG函数\text{SG函数}SG函数$，定义如下：
$$对于任意状态x，它的SG函数值g(x)=mex\{g(y)|y是x的后续状态\}$$
其中，$mex(S)$定义如下：
$$mex(S)为集合S中没有出现的最小非负整数。$$

对于博弈论，比如巴什博奕，有如下定理：

$$\begin{gathered} 状态x为P态⟺g(x)=0 \\ 状态x为N态⟺g(x)\ne 0 \end{gathered}$$

我们来回到这题。
首先易得如下：
$$\begin{gathered} n=0时，g(0)=0，为终止P态 \\ n=1时，g(1)=1，为N态 \\ n=2时，g(2)=2，为N态 \\ n=3时，g(3)=0，为P态 \end{gathered}$$
怎么得到的呢？
n=1，可以摸一颗石子，转移到g(0)。因此$mex$为1。
n=2，可以摸一颗石子，转移到g(1)；可以摸两颗石子转移到g(0)。因此$mex$为2。
n=3，可以摸一颗石子，转移到g(2)；可以摸两颗石子转移到g(1)。因此$mex$为0。

对于状态 $p$，可以摸一颗石子转移到$g(p-1)$，可以摸两颗石子转移到$g(p-2)$，
还能转移到 $g(p-2^k)$，其中$k\in \mathbb{Z}$,并且$p-2^k\ge 0$。

经过我们手模可以得到这样：

$n$	$g(n)$	N/P态
0	0	P
1	1	N
2	2	N
3	0	P
4	1	N
5	2	N
6	0	P
7	1	N

规律：
$$g(x)=x\%3$$
那么我们需要证明一下为什么是这样的规律。

【数学归纳法】
首先，对于$0\le i\le 3$，易得成立。
对于$i\ge 4$，假设$g(i-1)$成立,那么$g(i-1)与g(i-2)和g(i-3)$都不相同
且如下成立：
$$(g(i-3)+2)\%3=(g(i-2)+1)\%3=g(i-1)=(i-1)\%3$$

首先，对于状态 $i$ ，可以摸一颗石子，也可以摸两颗石子，那么：
$$g(i)=mex\{g(i-1),g(i-2),others\}=mex\{(i-1)\%3,(i-2)\%3,others\}$$
易得
$i\%3\ne (i-1)\%3,i\%3\ne (i-2)\%3$
那么需要证明others中不包含$i\%3$，即：
$$(i-2^p)\%3\ne i\%3,其中p\in \mathbb{Z},i-2^p\ge 0$$

我们使用反证法

假设存在某个$i$与某个$p$，使得$(i-2^p)\%3=i\%3$，那么由于取模群运算的性质可得
$$\begin{array}{rl}(i-2^p)\%3& =i\%3\\ ((i\%3-2^p\%3)\%3+3)\%3& =i\%3\\ 2^p\%3& =0（矛盾）\end{array}$$
易得，$2^p$的因子只有2，因此取模3的余数不会为0。假设不正确，因此得证。

$$g(i)=mex\{(i-1)\%3,(i-2)\%3\}=i\%3\square$$