图论 —— 树的直径 及 其两种求法

定义:

树的直径,即 树上最远的两点的距离(即 树上最大距离),若树的边权全为 1 1 1,则树的直径即是 树上的最长链

通常有两种树的直径的求法,时间复杂度均为 O ( n ) O(n) O(n)



①树形DP求树的直径

改方法只需遍历一次,即可求得树的直径大小,但无法求得直径的具体路径

选取任意结点为根遍历树,设 d [ i ] : d[i]: d[i]:表示结点 i i i为根的子树结点最远距离。

则有:

  • u u u为根的子树结点最远距离 d [ u ] = max ⁡ { d [ v ] + w u − v }        v ∈ u d[u]=\max\{d[v]+w_{u-v}\}\;\;\;v\in u d[u]=max{d[v]+wuv}vu的子结点

最后直径即为 根结点两个最远距离之和

int d[maxn],len=0;
void DP(int u,int pre)
{
    d[u]=0;   //初始为0
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,w=e[i].w;
        if(v==pre)
            continue;
        DP(v,u);
        len=max(len,d[u]+d[v]+w);  //更新直径
        d[u]=max(d[u],d[v]+w);
    }
}


②两次DFS求直径

该方法要遍历两次,第一次任选结点为根进行DFS,找到距离最远的结点;第二次以该距离最远的结点为根进行DFS,找到距离最远的结点两点距离即为直径大小,两点简单路径即为直径


d i s t [ i ] : dist[i]: dist[i]表示 i i i结点到根结点的距离

  • 若要记录路径,可 对第二次DFS进行修改,因为 第一次DFS得到的距离最远结点一定为直径的一个端点,只要以其为根DFS找到距离最远的点(令一个端点)路径即为直径
int dist[maxn],s,max_dist;
void DFS(int u,int pre)
{
    if(dist[u]>max_dist)
    {
        max_dist=dist[u];
        s=u;
    }
    for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].v,w=e[i].w;
        if(v==pre)
            continue;
        dist[v]=dist[u]+w;
        DFS(v,u);
    }
}
int get_len()
{
    max_dist=dist[1]=0;
    s=1;
    DFS(1,-1);
    max_dist=dist[s]=0;
    DFS(s,-1);
    return max_dist;
}

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