欧几里得算法求解乘法逆元——Python

刚刚学习密码，老师让使用欧几里得算法来求解一下乘法逆元，因此，就顺道学习了一下。

（1）欧几里得算法，大体就是递归求解两个数的最大公约数，在本程序中它的作用就是求a，b的最大公约数，若是最大公约数不为0则判断，a关于b，或者b关于a的逆元是不存在的，否则就可以继续进行下去，具体欧几里得算法可以看百度百科中介绍的很是详细；

欧几里得算法

（2）扩展的欧几里得算法，求得是 a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y，主要的是x = y1，y = x1 – a/b*y1，也是递归实现的，x，y的求解依赖于递归回的x1，y1的值，在本程序中，扩展的欧几里得算法就是来求线性方程的x与y的；

扩展欧几里得算法博文

（3）在欧几里得与扩展欧几里得算法的基础上，可以求解乘法的逆元，逆元的概念就是我理解的很简单，ax≡1 mod f，大体就是这个式子，最后求得的x就是a关于模f的逆元，这个式子可以转换为：ax + fy = 1，这样的话就可以使用扩展的欧几里得算法来求解x了，而要求f关于模a的逆元是，逆元就是y。例如 5x + 14y = 1，在使用扩展的欧几里得算法求得的结果是：x = 3， y = -1，这样就可以得到，5关于模14的逆元是3，而14关于模5的逆元就是-1，因为逆元不能是负数，所以当逆元为负数是要进行模5运算，而在python2.7后，%运算直接就是模运算，因此很是方便，所以最终14关于模5的逆元就是-1 + 5 = 4；

乘法逆元

python中的负数逆元

（4）最后就是我自己使用python编程实现求解乘法逆元的代码，有任何问题希望各位可以指正讨论。

#欧几里得算法求最大公约数
def get_gcd(a, b):
	k = a // b
	remainder = a % b
	while remainder != 0:
		a = b 
		b = remainder
		k = a // b
		remainder = a % b
	return b
	
#改进欧几里得算法求线性方程的x与y
def get_(a, b):
	if b == 0:
		return 1, 0
	else:
		k = a // b
		remainder = a % b		
		x1, y1 = get_(b, remainder)
		x, y = y1, x1 - k * y1			
	return x, y
	
a, b = input().split()
a, b = int(a), int(b)

#将初始b的绝对值进行保存
if b < 0:
	m = abs(b)
else:
	m = b
flag = get_gcd(a, b)

#判断最大公约数是否为1，若不是则没有逆元
if flag == 1:	
	x, y = get_(a, b)	
	x0 = x % m #对于Python '%'就是求模运算，因此不需要'+m'
	print(x0) #x0就是所求的逆元
else:
	print("Do not have!")