Sqrt tree 学习笔记

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前置知识

你首先要学会的：

• $\text{RMQ}(ST\text{表})$
• 分块
• 线段树
• 二进制，位运算

前记

我们把 $\text{RMQ}$ 和分块 所解决的问题搬出来：

• 在长度为 $n$ 的数组上，$T$ 组询问 $[l,r]$ 区间的 和（差，异或等有结合律的算术）。

显然我们已经有了一个 $\mathcal{O}(n\log n)-\mathcal{O}(1)$ 的算法。

思考

现在做一个 简单 的加强，$n,T\le 2\times 10^7$.

你会发现预处理的时间不够了。

很显然，我们考虑朴素的分块怎么做。

将数组分为若干个长度为 $b$ 的块，对于每个块，处理块内答案，前缀块的答案，后缀块的答案。

当 $b=\sqrt{n}$ 时 取到最平均的答案，可以 $\mathcal{O}(n)-\mathcal{O}(\sqrt{n})$，但显然不行。

那考虑 $\text{RMQ}$ 呢？用 $f_{i,j}$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 区间的答案，倍增处理即可。显然是 $\mathcal{O}(n\log n)-\mathcal{O}(1)$.

这两个算法都无法通过 $2\times 10^7$ 如此庞大的数据。我们思考一个新的算法。

基于分块

首先考虑分块基础上的优化。同样 处理块内答案，前缀块的答案，后缀块的答案，这里是 $\mathcal{O}(n)$ 的，考虑如何优化询问。

询问分两种情况：

• 横跨多个块
• 包含在一个块内

显然，第一种情况我们可以把 横跨的整块 进行前缀计算，然后转为 对两侧不完整快的计算，即剩余两个部分各自包含在一个完整的块内。这样做是 $\mathcal{O}(1)$ 的，但如何计算第二种方案？

考虑如何处理一个块内的方案，如果按照 分块的暴力思想，那么 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 就奠定了。显然这不是我们想要的。

现在的问题转为，在长度为 $\sqrt{n}$ 的数组上，$T$ 组询问 $[l,r]$ 区间的 和（差，异或等有结合律的算术）。

咦？这不是分块吗？

人见人爱的 分块套分块 又重出江湖了？

我们可以设法将 $\sqrt{n}$ 长的块进行再分块，分为 $\sqrt{\sqrt{n}}$ 长的块，然后再不断往下分 $\cdots \cdots$ 直到块长为 $1$ 为止。

首先，似乎这样的时间复杂度很稳，$\mathcal{O}(n+\sqrt{n}+\sqrt{\sqrt{n}}+\cdots \cdots )=\mathcal{O}(n)$，但空间上无法承受，需要处理的区间太多。

既然分块失败了，我们考虑在分块的基础上，思考新的算法。

$\text{Sqrt tree}$ 的建树

俗语云：“智商不够，数据结构来凑”。

现在我们想的一种 基于递归，搜索 的算法，能否有数据结构与其接轨呢？

显然，我们可以用 树 来实现。

对长度为 $k$ 的区间，将其分裂为 $\sqrt{k}$ 个长 $\sqrt{k}$ 的子区间，即有 $\sqrt{k}$ 个儿子。叶子节点的长度为 $1$ 或 $2$.

第一层的节点维护 $[1,n]$ 的答案。

假想一下：如果这棵树只建立 $2$ 层，可以认为和 朴素分块 没有任何区别。

显然我们建完这棵树后，应当考虑复杂度怎样。

整棵树的高度是 $\mathcal{O}(\log \log n)$ 的，每层区间总长为 $n$，建树的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\log \log n)$，可以接受。而空间上也可以接受。

那么问题来了：在这样类似于 线段树 的数据结构上，如何询问呢？

$\text{Sqrt tree}$ 的询问

在树高为 $\mathcal{O}(\log \log n)$ 的树上，按照线段树的思想，显然单次查询是 $\mathcal{O}(\log \log n)$ 的。这样并不优。

如何优化？

$\text{Sqrt tree}$ 的询问优化

其实瓶颈在于如何快速确定树高。树高很好确定，直接二分就行。那么这样就变成了 $\mathcal{O}(\log \log \log n)$.

对于 $n=2\times 10^7$，这个数已经变成了近似 $2$，几乎 可以视为常数。

我们考虑如何把这个数彻底地降为 $\mathcal{O}(1)$，以免夜长梦多！

$\text{Sqrt tree}$ 的询问再优化

精髓来了。

上面我们已经做到了 $\mathcal{O}(n\log \log n)-\mathcal{O}(\log \log \log n)$ 的算法，我们试图做到一个 $\mathcal{O}(n\log \log n)-\mathcal{O}(1)$.

思考一下：$\text{RMQ}$ 的预处理，如果你在询问的时候暴力倍增，不也是 $\mathcal{O}(\log n)$ 吗？最后我们用 二进制 的特效完成了从 $\mathcal{O}(\log n)$ 到 $\mathcal{O}(1)$ 的跳跃，让 $\text{RMQ}$ 彻彻底底的战胜了 线段树（只是在两者都能解决的领域）。

现在我们仍要运用这个黑科技，二进制的运算从来不庸俗。

所以，按照 $\text{OI Wiki}$ 的说法，

非常形象。如果你觉得这些太枯燥，我们来简单解释一下。

首先假设所有区间的长度都可以表示为 $2^t(t为自然数)$ 的形式，对于不满足的区间我们可以在后面添上一些 不影响运算 的数值，在 $+$ 中可以是 $0$. 由于区间的增大最多 $\times 2$ 不到，因此不影响复杂度。

这样我们可以来用二进制了。首先我们把端点写成二进制的形式，由于每个块长度一样，端点呈 等差 形式，因此 每个块的两个端点的二进制有且仅有后 $k$ 位不同。所以显然的，我们预处理的时候可以求出 $k$，并可以 $\mathcal{O}(1)$ 计算 当前区间两个端点的二进制值。

如何判断当前区间是否涵盖在一个块里？显然这个问题就变成，当前取件两个端点的二进制是否只有后 $k$ 位不同。这个问题不难解决。我们只需要将区间两端进行 异或操作，判断是否 $\le 2^k-1$ 即可。

那么如何快速找到树高呢（即对应再第几层）？对当前 $[l,r]$ 计算最高位上的 $1$ 的位置，并处理 $i\in [1,n]$ 中 $i$ 的最高位上 $1$ 的位置。这样可以 $\mathcal{O}(1)$ 计算树高，$\mathcal{O}(1)$ 查询啦！

这就是 $\text{Sqrt tree}$，可以实现 $\mathcal{O}(n\log \log n)-\mathcal{O}(1)$.

可能你会说，$\mathcal{O}(n\log \log n)$ 对于 $n=2\times 10^7$ 会跑到 $10^8$ 左右，不稳。

$\mathcal{O}(n\log n)-\mathcal{O}(1)$ 就稳了？

$\mathcal{O}(n)-\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 就稳了？

显然 $\text{Sqrt tree}$ 已经是此类问题最优的算法，没有之一！

$\text{Sqrt tree}$ 的修改

现在出题人意外地发现你用 不带修改 的简单 $\text{Sqrt tree}$ 模板切题了！

出题人非常生气，毫不客气地加上了这样一句话：

• 每次操作分询问和修改两种。

那么如何修改呢？

直接在 $\text{Sqrt tree}$ 上暴力？

$\text{Sqrt tree}$ 的单点修改

首先考虑单点如何修改 $a_x=val$。

暴力的话，我们需要更改树上含 $x$ 的区间，显然我们需要重新计算的区间为：

$$\mathcal{O}(n+\sqrt{n}+\sqrt{\sqrt{n}}+\cdots \cdots )=\mathcal{O}(n)$$

但是你觉得这样很满足吗？那出题人给你个修改都要 $\mathcal{O}(n)$，岂不是要让 $\mathcal{O}(nT)$ 的暴力通过了？

$\text{Sqrt tree}$ 的单点修改优化

类似于线段树吧，可以打 $\text{lazy\_tag}$，不必完全暴力的。

这里引进 $\text{Index}$ 的概念，记录每个区间被修改的块编号。

那么 $\mathcal{O}(\sqrt{n})$ 很稳。但是这样询问也增加了复杂度。

$\text{Sqrt tree}$ 的区间修改

考虑如何将 $[l,r]$ 的所有数都改成 $x$.

我们已经有了以下的算法（修改 - 查询）：

$\mathcal{O}(\sqrt{n}\log \log n)-\mathcal{O}(1)$

$\mathcal{O}(\sqrt{n})-\mathcal{O}(\log \log n)$

下面会一一解释这两种实现。

区间修改的第一种实现

第一种实现中，把第一层 被 $[l,r]$ 完全覆盖的区间 打上标记。

两侧的块修改一部分，没有办法，只能暴力，$\mathcal{O}(\sqrt{n}\log \log n)$.

查询的话，直接去 $\text{Index}$ 里查询，$\mathcal{O}(1)$.

区间修改的第二种实现

每个节点都会被打上标记，那么每次询问要把祖先的标记更新一遍，就会形成 $\mathcal{O}(\sqrt{n})-\mathcal{O}(\log \log n)$ 的复杂度。

总结

$\text{Sqrt tree}$ 在不带修改的情况下效率比 线段树 要高很多，但是实现的功能不如 线段树 多（比方说线段树可以维护 $\text{LIS}$）；

带修改时，$\text{RMQ}$ 无疑最优，其次是 线段树，然后是分块和 $\text{Sqrt tree}$.

$\text{OI}$ 中不常考，但希望大家掌握。

参考资料

$\text{Sqrt Tree - OI Wiki}$

课后习题

洛谷 $\text{P3793}$ 由乃救爷爷