bzoj 1801 [Ahoi2009]chess 中国象棋 dp

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解法

dp状态的优化

• 先考虑一下最暴力的做法，就是枚举每一个位置是否有炮，然后最后再暴力检查一遍
• 显然，这对于 n,m≤100 n , m ≤ 100 的数据规模是不可取的
• 那么，我们不妨进行dp，设 fi,j f i , j 表示到第 i i 行为止，每一列放炮的数量情况为 j j 的方案数， j j 为一个 m m 位三进制数，转移的时候只要枚举在哪一列或哪两列放炮就可以了
• 但是，这个状态数是 O(3mn) O ( 3 m n ) ，无法接受
• 考虑如何优化状态，其实可以发现，我们并不需要只要每一列放炮的情况到底是什么样子的，我们只需要知道有多少列放了 0/1/2 0 / 1 / 2 个炮就可以了，然后再计算方案的时候可以用组合数
• 那么，我们就可以得出状态 fi,j,k f i , j , k 表示到第 i i 行为止，有 j j 列放了1个炮， k k 列放了2个炮的方案数，0的可以直接通过 j,k j , k 算出
• 那么，不妨考虑第 i+1 i + 1 行放了多少个炮，分情况对应地讨论一下，这个部分比较简单
• 然后这样一个一开始指数级的状压dp就被大力优化了
• 时间复杂度： O(nm2) O ( n m 2 )

代码

#include 
#define int long long
#define Mod 9999973
#define N 110
using namespace std;
template <typename node> void read(node &x) {
    x = 0; int f = 1; char c = getchar();
    while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (isdigit(c)) x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); x *= f;
}
int n, m, vis[N][N][N], f[N][N][N];
int C(int x) {return x * (x - 1) / 2;}
int dp(int i, int j, int k) {
    if (j < 0 || k < 0) return 0;
    if (i == 0) return (j == 0 && k == 0);
    if (vis[i][j][k]) return f[i][j][k];
    int ret = dp(i - 1, j, k); vis[i][j][k] = 1;
    ret = (ret + dp(i - 1, j - 2, k) * C(m - j - k + 2) % Mod) % Mod;
    ret = (ret + dp(i - 1, j + 2, k - 2) * C(j + 2) % Mod) % Mod;
    ret = (ret + dp(i - 1, j, k - 1) * j % Mod * (m - j - k + 1) % Mod) % Mod;
    ret = (ret + dp(i - 1, j - 1, k) * (m - j - k + 1) % Mod) % Mod;
    ret = (ret + dp(i - 1, j + 1, k - 1) * (j + 1) % Mod) % Mod;
    return f[i][j][k] = ret;
}
main() {
    read(n), read(m);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i++)
        for (int j = 0; i + j <= m; j++)
            ans = (ans + dp(n, i, j)) % Mod;
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}