【PAT数据结构与算法题目集】 旅游规划（单源最短路径，长度+路径查找）

【PAT数据结构与算法题目集】 旅游规划（单源最短路径，长度+路径查找）

题目

有了一张自驾旅游路线图，你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。

输入格式:
输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

输出格式:
在一行里输出路径的长度和收费总额，数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
0 1 1 20
1 3 2 30
0 3 4 10
0 2 2 20
2 3 1 20

输出样例:

3 40

思路

这道题的难点在于两个结点之间的最短路径可能不止一条，这时需要将所有的最短路径记录下来，并从中选取花费最少的最短路径。这题的关键有两个：

1. 对dijkstra算法的修改
因为可能有不止一条最短路径，每个结点的最短路径前驱结点也可能不止一个，因此需要对传统的dijkstra算法进行修改：
（1）用个vector类型的parent来存储某个结点的前驱结点集合，$parent[i]$ 存储了i的最短路径前驱结点集合；
（2）边的松弛需要做调整：假设源点为S，从源点S到结点u的最短路径已经确定后，在对一条边(u, w)进行松弛时，将从S到u之间的最短路径长度加上从结点u到结点w之间的距离，与当前的从S到w的最短路径估计进行比较：
1） 如果前者更小，则将后者更新为前者，清空 $parent[w]$， 并将结点u加入 $parent[w]$。
2）如果两者相等，则将结点u加入 $parent[w]$。
该过程伪代码如下：

// 对边(u, w)进行松弛
// sw[k]表示从源点S到结点k的最短路径估计
//matrix[i][j]表示图中从结点i到结点j的距离
//vectorparent, parent[i]表示结点i的最短路径前驱结点集合

void rexlax(int u, int w) {
	if(sw[w] > sw[u] + matrix[u][w]) {
		sw[w] = sw[u] + matrix[u][w];
		parent[w].clear();
		parent[w].push_back(u);
	}
	else if(sw[w] == sw[u] + matrix[u][w]) {
		parent[w].push_back(u);
	}
}

2. 最短路径路径查找
为了找出花费最少的最短路径，所以要将每条最短路径找出来，这里可以用递归，其伪代码如下：

// s是源点，i是当前的结点
//parent[i]存储了结点i的最短路径前驱结点集合
//用vectortemp存储当前找出的这条最短路径上的每条边的长度
//mini_cost目前得到的最小花费，初始值为无穷大
//pay[i][j]表示城市i和城市j之间的收费
void cost(int i, int s) {
	if(i == s) {
		ans = temp中的每条边长度之和;
		if(ans < mini_cost) {
			mini_cost = ans;
		}
	}
	else {
		for(j=0; j

代码

#include 
#include 
#include 
#include
#include 
#include