【题解 && 容斥原理】光与镜

题目描述：

Solution

首先，这道题看到的第一眼，就能发现这道题是一道容斥。

首先我们套容斥的板子：
$ans=a_1\ast S_1-a_2\ast |S_1\cap S_2|+a_3\ast |S_1\cap S_2\cap S_3|-\dots \dots$

其中$S_i$表示数列中$i$个数的最小公倍数，由于题目中的m特别小，所以我们可以强行枚举。
主要的问题就是系数a的处理。

根据不断的打表以及找规律，我们发现$a_i=2^{i-1}$。

需要注意的两个细节是：
1、一旦遇到数的最小公倍数超过n，那就直接跳出。
2、答案需要开$unsignedlonglong$

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Code

#include
using namespace std;

#define int unsigned long long

int n,m,xs;
bool vi[1010];
int num = 0;
int ans;
int a[1010];

int gcd(int x,int y){
	return y == 0 ? x:gcd(y,x%y);
}

int quickm(int x,int y){
	int sum = 1;
	while (y){
		if (y&1) sum = sum * x;
		x*=x;
		y>>=1;
	}
	return sum;
}

void work(int x){
	int lcm = 1;
	for (int i = 1; i <= m; i++){
		if (!vi[i]) continue;
		if (lcm / gcd(lcm,a[i]) > n/a[i]) return;
		lcm = lcm / gcd(lcm,a[i]) * a[i];
	}
	ans+=xs * (quickm(2,x-1) * (n/lcm));
}

void dfs(int x,int y){
	if (num == y){work(y);return;}
	if (x > m) return;
	vi[x] = 1;num++;
	dfs(x+1,y);
	vi[x] = 0;num--;
	dfs(x+1,y);
}

signed main(){
	freopen("light.in","r",stdin);
	freopen("light.out","w",stdout);
	scanf("%llu %llu",&n,&m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%llu",&a[i]);
	for (int k = 1; k <= m; k++){
		xs = k%2?1:-1;
		num = 0;dfs(1,k);
	}
	printf("%llu",ans);
	return 0;
}