欧拉路径(Euler path)/欧拉回路(Euler circuit)/欧拉图(Euler Graph)小结

前言

　　想象一下你碰到了哈密顿回路类的问题（NPC问题），但又要在可观的多项式时间内解出。这时，应该怎么破？
　　欧拉回路（P问题）闪亮登场！！！它只需你巧妙地重新建一下模，就可以 O(n+m) O ( n + m ) （n为点数，m为边数）从容解决！

定义

　　欧拉路径（欧拉通路）：通过图中所有边的简单路。（换句话说，每条边都通过且仅通过一次）也叫”一笔画”问题。
　　欧拉回路：闭合的欧拉路径。（即一个环，保证每条边都通过且仅通过一次）
　　欧拉图：包含欧拉回路的图。

起源历史

　　在一个图中求解一条欧拉回路的问题，起源于欧拉提出的、著名的“七桥问题”。详见百度百科。

判定（充要条件）

　　下列是判定一个图中是否有欧拉回路/欧拉路径的充要条件。

欧拉回路

1. 图G是连通的，无孤立点。
2. 无向图奇点数为0；有向图每个点的入度必须等于出度。

欧拉路径

1. 图G是连通的，无孤立点。
2. 无向图奇点数为0或2，并且这两个奇点其中一个为起点另外一个为终点。有向图，可以存在两个点，其入度不等于出度，其中一个入度比出度大1，为路径的起点；另外一个出度比入度大1，为路径的终点。

算法

　　如果我们判断出（或题目给定）一个图肯定存在欧拉回路，则可以考虑求解一条欧拉回路。

Fleury算法

　　目前比较通用的应该是Fleury算法。该算法流程如下：
1. 任取G中一个点x
2. 选择一条从点x出发的边i（若i可以不为桥则不应将i选为桥），设i连向点y，删除i，然后：
　　1）i不为桥，走到点y；
　　2）i迫不得已必须为桥，走到点y并删去点x（因为删去i后，点x将成为孤立点）。
3. 步骤2无法执行时停止算法
　　当算法停止时，依次经过的点所得到的简单回路为图G的一条欧拉回路。

圈套圈算法

　　当然，也有一种看似很暴力的圈套圈算法。
　　这个算法大概是，从某个点开始走，当走到死胡同时就将当前点压入栈（答案栈）中，直到退到某个点仍然存在出边，然后继续沿着出边走下去。 然后答案即为将节点从栈顶一个一个地弹出（反向输出整个栈）。

分析

　　先分析一下圈套圈算法。
　　首先，设起点为x，则如果在走到点v的时候，我们误打误撞又走回了点v（即走了一个包含点v的环，或者说从点v走回了点v），那么这第一次的点v肯定为点x。因为如果为其他点，则从点x走到点v，又从点v走回了点v，那么v的度数为3，v为奇点，不符合判断条件。
　　那么我们一直回溯，一边回溯一边压栈，回溯到一个点y有出边，我们就继续从点y找环。如果点y找到一个环A，我们又回溯压栈。那么显然 y→x y → x 的路径先被压入栈中，然后是环A，最后是 x→y x → y 的路径。那么我们可以假想，我们从x走到点y的时候，并没有从它走回点x，而是走了一波环A，最后才走回了点x，这样就恰好搞出了一条欧拉回路。
　　也就是说，我们会找出包含起点x的一个大环，大环中的每一个点都可能带出一个小环，小环中的每一个点又可能带出一个更小的环……以此算法求出的解（那条欧拉回路），我们走大环走到一个点，若它可以带出一个小环，我们就相当于去先搞了那个小环；尔后才回归大环。

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　　根据上述分析，Fleury算法实质上等于圈套圈算法。

　　设起点为1，上图中的大环为{1,10,8,9,1}。我们在走到10时，10能带出一个小环{10,4,2,3,10}，上图变成下图：

　　显然，此时边 10→8 10 → 8 为桥，因为10能带出一个小环；而囿于有条件：若i可以不为桥则不应将i选为桥，我们会优先去搞10带出来的那个小环。转化为实际步骤即为走边 10→4 10 → 4 或 10→3 10 → 3 。
　　如果设大环为{x,v1,v2,v3,…,vk,x}，我们在走到vi时，显然 x→vi x → v i 的边都已删除；所以边 vi→vi+1 v i → v i + 1 定然是桥。此时，如果vi能够带出一个小环，那么我们肯定会优先去搞那个小环；尔后重新遍历到vi后（从vi走到vi），再走边 vi→vi+1 v i → v i + 1 。

例题

【JZOJ4004】【GDKOI2015】青蛙跳环
【JZOJ4644】【NOI2016模拟7.16】人生的经验