CSP-S 模拟 19/11/09 学园祭的游戏（博弈论）（SG）（整除分块）

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第一次考场写博弈论，好激动
暴力求 $sg$ 函数还是很好做的
$sg(x)=mex(sg(i))(x-\frac{x}{b_i}\le i<x)$
然后把表打出来过后发现

$sg(x)=sg(x-\frac{x}{b_i}-1)(x\%b_i!=0)$
$sg(x)=\frac{x}{b_i}(b_i|x)$
证明的话考虑一下求 $mex$ 的过程就可以了
这样就可以拿 $70pts$ 了
发现 $b_i$ 大的时候跳的次数多但是 $\frac{x}{b_i}$ 的取值不多
$b_i$ 小的时候跳得飞快
于是当 $b_i\le \sqrt{a_i}$ 时，暴力跳，最多 $\sqrt{a_i}$ 次
当 $b_i>\sqrt{a_i}$ 时，找到 $\frac{x}{b_i}$ 相同的一段一起减掉即可

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考场上慢慢想感觉对 $sg$ 函数有了一些新的理解
首先一个常识是 $sg(x)$ 为所有子状态的 $mex$，还有就是 $sg$ 为 0 那么必败
为什么呢？
因为一个 $sg$ 为 0 的话那么它的所有子状态都不为 0
一个 $sg$ 不为 0 只需要一个子状态为 0
这就对应了一个状态必败当且仅当它的所有子状态为必胜状态
一个必胜状态只要可以到一个必败状态它就必胜
而一个游戏的 $sg$ 为所有子游戏的 $sg$ 的异或和又是为什么呢？
又有一个常识是 $sg$ 的异或和为 0 的话那么必败
考虑到如果异或和为 0 那么任意走一步都会使异或和不为 0
如果异或和不为 0 ，假设异或和是 $x$，最大位的 1 在第 k 位，
那么一定可以找到一个 $a_i$ 使得 $x$ 的 $a_i$ 的第 $k$ 位为 1
然后把 $a_i$ 变成 $a_i$ 异或 $x$ ，就可以到达一个异或和为 0 的局面
因为取的是最大的一位，那么 $a_i$ 异或了 $x$ 过后一定小于 $a_i$
而根据 $sg$ 的取 $mex$ 一个状态一定能到达所有小于它的状态
之前学没有懂，打了个表玩了玩竟然就有感觉了！

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#include
#define cs const
using namespace std;
int read(){
	int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
	while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
	while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
	return cnt * f;
}
int T, n;
int sg(int a, int b){ 
	if(a % b == 0) return a / b;
	return sg(a - a / b - 1, b);
}
int SG(int a, int b){
	int sz = sqrt(a);
	if(a / b > sz) return sg(a, b);
	while(a % b){
		int t = a / b + 1, nxt = a / b * b;
		a -= (a - nxt) / t * t;
		if(a % b) a -= a / b + 1;
	} return a / b;
}
int main(){
	T = read();
	while(T--){
		n = read();
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			int a = read(), b = read();
			ans ^= SG(a, b);
		} if(ans) puts("Setsuna");
		else puts("Kazusa");
	} return 0;
}