【数论】-素数问题整理

1.素数定理: π(x)~x/ln(x)

其中π(x)是不超过x的范围中素数的个数,当x非常大时,π(x)与x/ln(x)比较接近。

2.埃拉托色尼筛法

应用:可以快速找到[2, n]内所有的素数。操作步骤如下:

(1)输出最小的素数2,然后筛掉2的倍数

(2)输出最小的素数3,然后筛掉3的倍数

(3)输出最小的素数5,然后筛掉5的倍数

继续以上步骤,直到操作到n

例题:hdu 2710

#include 
#include <string.h>
using namespace std;
const int N=2e4+5;
int nprime[N],cnt=0;
void table(){
    nprime[1]=1;
    for(int i=2;i){
        if(!nprime[i]){//直接记录i的最大素因子 
            nprime[i]=i;
            for(int j=i+i;ji)
            nprime[j]=i;
        }
    }
}
int main(){
    table();
    int t;
    while(cin>>t){
        int maxx=0,ans;
        while(t--){
            int n;
            cin>>n;
            if(nprime[n]>maxx)maxx=nprime[n],ans=n;
        }
        cout<endl;
    }
    
}
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3.算术基本定理

(1)若n的标准素因子分解表达式为n=p1a1*p2a2*...*pkak,设d(n)为n的正因子个数,f(n)为n的所有因子之和,则有

d(n)=(a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)

f(n)=(p1a1+1-1/p1-1)*(p2a2+1-1/p2-1)*..*(pkak+1-1/pk-1)

(2)n!的素因子分解中的素数p的幂为[n/p]+[n/p2]+[n/p3]+...

 

4.梅森素数

定义:Mp=2p-1,当p为素数,且Mp为素数,则称Mp为梅森素数

当p为第几个素数,则称Mp为第几个梅森数

判定:

Lucas-Lehmer判定法:判定一个梅森数是否是梅森素数

设p是素数,第p个梅森数为Mp为2p-1,r1 = 4,对于k >= 2

r(k) = r(k-1)^2-2(modM(p)), 0 <= r(k) <= M(p)

可以得到r(k)序列,则有M(p)是素数,当且仅当r(p-1) = 0(mod M(p))

涉及知识:

卢卡斯-莱默检验法原理

假设我们想验证M 3 = 7是素数。我们从 s=4开始,并更新3−2=1次,把所有的得数模7:
  • s ← ((4 × 4) − 2) mod 7 = 0
由于我们最终得到了一个能被7整除的 s,因此M3是素数。
另一方面,M11 = 2047 = 23 × 89就不是素数。我们仍然从 s=4开始,并更新11−2=9次,把所有的得数模2047:
  • s ← ((4 × 4) − 2) mod 2047 = 14
  • s ← ((14 × 14) − 2) mod 2047 = 194
  • s ← ((194 × 194) − 2) mod 2047 = 788
  • s ← ((788 × 788) − 2) mod 2047 = 701
  • s ← ((701 × 701) − 2) mod 2047 = 119
  • s ← ((119 × 119) − 2) mod 2047 = 1877
  • s ← ((1877 × 1877) − 2) mod 2047 = 240
  • s ← ((240 × 240) − 2) mod 2047 = 282
  • s ← ((282 × 282) − 2) mod 2047 = 1736
由于 s最终仍未能被2047整除,因此M11=2047不是素数。但是,我们从这个检验法仍然无法知道2047的因子,只知道它的卢卡斯-莱默余数1736。
思路:输入p,先求出2 p-1,循环求r(k) = (r(k-1) 2-2)%M p

转载于:https://www.cnblogs.com/xyfs99/p/11552354.html

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