a的n次方的快速算法及大数相乘

对于a的n次幂求解这个问题，不少人看到后都觉得没有什么内容吧！我第一次想到这个问题也觉得没有什么内容，但是后来仔细想想，里面还真是有学问哦！

想想看如果我们求 a⁸ ，有以下两种方法：

1）a⁸  = a * a * a * a * a * a * a * a 需要计算 7次乘法

2）a ⁸  = (a * a) * A * A  (其中A = a * a) 需要计算3次乘法

对于这么简单的一个算法计算步骤差别的差别是很大的

 

 

算法的思想：

一般的对于 a ^{(2x + b)}  = a^2x * a ^b，所以就有

1）b = 0时：a ^{2x + b} = (a^x)²；

2）b = 1时：a ^{2x + b} = (a^x)² * a;

对于 aⁿ ，先把 n的二进制表示写出，那么有aⁿ  = a ^{(n1 n2 n3 n4 ..)}= …

      

那么我们从左到右就可以如下表（n = 13的时候 1101）：

n的二进制位	1	1	0	1
累乘	a	a2 * a = a3	(a3)2 = a6	(a6)2 * a = a13

 

实现思路：

1）先将指数转换成二进制，用栈实现；

2）根据指数是1还是0进行相乘；

3）考虑到乘数太大，我们写一个大数相乘的算法。

 

大数相乘算法思想：

1）先把乘数列出来，第二行起每次右移一位，以12*34=408为例
          (1,3) (1,4)
                  (2,3) (2,4)
2）将( )内的数两乘
          (1,3=3) (1,4=4)
                  (2,3=6) (2,4=8)
3）相加，注意进位
          (3) (4)
               (6) (8)
      -------------------------
           3  10   8          
      -------------------------
           4    0   8

 

大数相乘实现思路：

1）将大数作为字符串输入
2）将字符串反向存入一个int 型数组中，即：输入为“12345”，存成数组为a[0]=1,a[1]=2,a[2]=3...
3）将两个大数按整型数组（a[],b[]）存好之后，按照手动计算的顺序进行计算
3.1）首先用a[0]与b[0...N-1]相乘，结果对应存入c[0...N-1]中
3.2）用a[1]与b[0...N-1]相乘，结果对应加到c[1...N-1]中（注意此处计算结果要与上一步的结果累加）
3.3）循环所有的数字得到一个结果数组c[2*N]
4）将结果数组进行分析得到结果，分析方法是将每个c[]中元素化为一位数字

 

 

 
       
       import java.util.Stack;   
          
       public class Test {   
              
           public String power(int x, int n){   
               String basic = String.valueOf(x);   
               Stack s = conversion(n, 2);   
          
               String result = "1";   
               while (!s.empty()) {   
                   int i = s.pop();   
                   switch (i) {   
                   case 0:   
                       result = bigMulti(result, result);   
                       break;   
                   case 1:   
                       result = bigMulti(bigMulti(result, result), basic);   
                       break;   
                   }   
               }   
               return result;   
           }   
              
           private Stack conversion(int x, int d){   
               // according to the formula: N = (N div d) * d + N mod d   
               Stack s = new Stack();   
               while (x != 0) {   
                   s.push(x % d);   
                   x = x / d;   
               }   
               return s;   
           }   
          
           private String bigMulti(String left, String right) {   
               int[] lefts = changeToArray(left);   
               int[] rights = changeToArray(right);   
               int tempLength = lefts.length + rights.length - 1;   
               int[] temp = new int[tempLength];   
          
               // 对应思路3   
               for (int i = 0; i < lefts.length; i++) {   
                   for (int j = 0; j < rights.length; j++) {   
                       temp[i + j] += lefts[i] * rights[j];   
                   }   
               }   
          
               // 如果有大于10的，进位   
               for (int i = tempLength - 1; i >= 0; i--) {   
                   if (temp[i] >= 10 && (i - 1) >= 0) {   
                       temp[i - 1] += temp[i] / 10;   
                       temp[i] = temp[i] % 10;   
                   }   
               }   
          
               // 结果拼接成string   
               StringBuffer result = new StringBuffer();   
               for (int i = 0; i < tempLength; i++) {   
                   result.append(temp[i]);   
               }   
               return result.toString();   
          
           }   
              
            private int[] changeToArray(String numStr){      
                int length=numStr.length();   
                int[] intNum=new int[length];   
                for(int i = 0;i< length; i++)      
                    intNum[i]=Integer.parseInt(String.valueOf((numStr.charAt(i))));      
                return intNum;      
            }   
              
           public static void main(String[] args) {   
               long start = System.currentTimeMillis();   
               Test t = new Test();   
               String result = t.power(2, 10000);   
               long end = System.currentTimeMillis();   
               System.out.println("result is:" + result);   
               System.out.println("use time:" + (end - start));   
           }   
       }
import java.util.Stack;

public class Test {

    public String power(int x, int n){
        String basic = String.valueOf(x);
        Stack s = conversion(n, 2);

        String result = "1";
        while (!s.empty()) {
            int i = s.pop();
            switch (i) {
            case 0:
                result = bigMulti(result, result);
                break;
            case 1:
                result = bigMulti(bigMulti(result, result), basic);
                break;
            }
        }
        return result;
    }

    private Stack conversion(int x, int d){
        // according to the formula: N = (N div d) * d + N mod d
        Stack s = new Stack();
        while (x != 0) {
            s.push(x % d);
            x = x / d;
        }
        return s;
    }

    private String bigMulti(String left, String right) {
        int[] lefts = changeToArray(left);
        int[] rights = changeToArray(right);
        int tempLength = lefts.length + rights.length - 1;
        int[] temp = new int[tempLength];

        // 对应思路3
        for (int i = 0; i < lefts.length; i++) {
            for (int j = 0; j < rights.length; j++) {
                temp[i + j] += lefts[i] * rights[j];
            }
        }

        // 如果有大于10的，进位
        for (int i = tempLength - 1; i >= 0; i--) {
            if (temp[i] >= 10 && (i - 1) >= 0) {
                temp[i - 1] += temp[i] / 10;
                temp[i] = temp[i] % 10;
            }
        }

        // 结果拼接成string
        StringBuffer result = new StringBuffer();
        for (int i = 0; i < tempLength; i++) {
            result.append(temp[i]);
        }
        return result.toString();

    }

     private int[] changeToArray(String numStr){
         int length=numStr.length();
         int[] intNum=new int[length];
         for(int i = 0;i< length; i++)
             intNum[i]=Integer.parseInt(String.valueOf((numStr.charAt(i))));
         return intNum;
     }

    public static void main(String[] args) {
        long start = System.currentTimeMillis();
        Test t = new Test();
        String result = t.power(2, 10000);
        long end = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("result is:" + result);
        System.out.println("use time:" + (end - start));
    }
}

转载于:https://www.cnblogs.com/xuweili/articles/3387210.html