L1_SVD方法的稀疏矩阵的DOA估计
写点题外话，最近，一直在研究Malioutouv的
这是他毕业论文摘出来的一篇论文，他的毕业论文下载地址：D. M. Malioutov. (2003, Jul.) A Sparse Signal Reconstruction Perspective for Source Localization With Sensor Arrays. M.S. thesis, Mass. Inst. Technol., Cambridge, MA. [Online]. Available: http://ssg.mit.edu/~dmm/publications/malioutov_MS_thesis.pdf
虽然毕业论文还是有一些错误，但是对这篇论文的解释比较详尽，有看不懂的地方可以回本科论文里面找，基本都能解释清楚。
其实我是想说，人和人的天资是天差地别的，最近对压缩感知的学习，让我深深地为自己的理解能力和数学基础感到忧虑。上一篇ＬＰ球，我是占个位置，因为我还不是很清楚ＬＰ与稀疏性的关系，留着以后想清楚了再补充吧。
／／正文
论文中的方法说明
示意图：
步骤：
１.获得观测值（与ＭＵＳＩＣ算法得到Ｙ＝ＡＳ＋Ｎ类似）
２.对观测值进行奇异值分解（ＳＶＤ（））
３.对观测值和稀疏信号进行降维
观测值（阵元数＊快拍数）－＞（阵元数＊信元数）
稀疏信号（网格数（可能存在的位置数，如果你认为从１：１８０都有可能存在，那他的网格数就是１８１，对应文中的Ｎ＿θ）＊快拍数）－＞（网格数＊信元数）
由于信元数远远小于快拍数（在多快拍的情况下），所以大大减小了这两个矩阵的维度
【这里想快拍数到底什么意思想了很久，现在认为快拍就是对信号进行若干次采样，采样次数多了，得到的结果比较准确，就好比检测产品合格率，你不能拿到一个好的产品就认为这一批产品全是好的，也不能拿到一个坏的就认为这批产品全坏了，因此要选取大量的样本，才能保证结果的准确性。这里暂时理解到这里，回头跟我导讨论一下再来补充】
４.计算Ｓｓｖ每一行的Ｌ２范数
这块卡了很久，没看明白‘ｓｐａｔｉａｌ ｉｎｄｅｘ ｉ’到底什么意思？空间索引？很方，当时觉得怎么出现了空间这个问题，后来看了几遍才看明白，ｉ表示的是
Ｎ＿θ，也就是可能出现点的位置。也就是说如果我们是从０：１８０°以１°为步长画网格，那我们的ｉ就是（１：１：１８１）的意思，就是位置，他要是用ｌｏｃａｔｉｏｎ表达，可能我就不会看这么费劲，还是要好好学英语啊
５.用约束条件进行最优化
其中约束条件用框图中的直接写是解不出来的，我试了。。。（好尴尬）
要用附录中的说明方法解
其中Ｙｓｖ就是我们降维后的矩阵（阵元数＊信源数），已知
＂１＂代表（网格数＊１）的全１向量
ｐ，ｑ，ｒ，Ｓｓｖ是变量
ｐｑｒ都是网格数的实变量
Ｓｓｖ是（网格数＊信源数）的复变量
ｌａｍｄａ的选值很复杂，严格来讲应该一次一次试，通过迭代得到一个结果最稳定最适合这个模型的值，当然我是随便写的，２
贴代码：
%2017.6.6
%author:Lola
%功能：实现稀疏矩阵l1-SVDDOA估计
%reference:A Sparse Signal Reconstruction Perspective for Source
%Localization With Sensor Arrays [Malioutov]
clc
clear all
close all
M = 8; %阵元数
K = 2; %信源数
L= 100; %快拍数
d_lamda =0.5; %阵元间距半波长
fc=[2*10^3 ,5*10^3]; %信号频率
fs=[20*10^3]; %采样频率
theta1 = [0 15]; %信号来向
snr=20; %信噪比
for k=1:K
s=sqrt(10.^(snr/10))*[randn(K,L)+1j*2*pi*fc'*[1:L]/fs]; %信号（信源数*快拍数）
for kk=1:M
A(kk,k)=exp(-1j*2*pi*(kk-1)*d_lamda*sin(theta1(k)*pi/180)); %阵列流型（阵元数*信源数）
end
end
X=A*s;
Y=awgn(X,snr); %加入高白噪声,得到观测信号
Searching_doa=-90:90;
for m=1:length(Searching_doa)
AA(:,m) = exp(-1j*(0:M-1)*d_lamda*2*pi*sin(Searching_doa(m)*pi/180)); %构造一度为网格间距的完备基矩阵
end
Y=X; %得到观测数据矩阵
Dk1=eye(K);
Dk2 = zeros(K,L-K);
Dk = [Dk1,Dk2].';
[U,D,V] = svd(Y); %进行奇异值分解
Ysv = Y*V'*Dk;
Sumvector=ones(length(Searching_doa),1);
cvx_begin quiet
variables p q
variables r(length(Searching_doa))
variable SSV1(length(Searching_doa),K) complex;
expression xsv(length(Searching_doa),1)
expressions Zk(M,K) complex
minimize(p+2*q);
subject to
Zk = Ysv-AA*SSV1;
Zvec = vec(Zk); %把矩阵转化为向量
norm(Zvec) <=p; %第一个不等式约束
Sumvector'*r<=q; %第二个不等式约束
for i=1:length(Searching_doa) %第三个不等式约束
xsv(i,:)=norm(SSV1(i,:));
end
for i=1:length(Searching_doa)
xsv(i)<=r(i);
end
cvx_end
power=10*log10(abs(SSV1(:,1))/max(abs(SSV1(:,1))));
plot(Searching_doa,power,'r');
xlabel('DOA/degree');
ylabel('PowerdB');
继续好好学数学
论文不给附录我肯定是不知道那个问题要用二阶锥解得，就算告诉我用二阶锥方法解我也不知道怎么解。这个仿真从研究到写到调试用了差不多五个小时。。。理解能力太差，受到了深深的打击。。。