微积分基础之图形面积（体积）计算

一、平面图形面积

$$\boxed{积分的要领1：以长方形为基础来思考}$$

1、简单图形的面积

(1)长方形

长$\times$宽，不会的请离开

(2)三角形

底$\times$高/2，不会的请离开

(3)平行四边形

底$\times$高，不会的请离开

(4)梯形

$($上底$+$下底$)\times$高/2，不会的请离开

2、稍微复杂一点的图形面积

$$\boxed{积分的要领2：把图形看作小长方形的组合}$$

(1)圆

法1：

用圆规在方格纸上画一个圆，接着数一数圆中的方格数
我在边长为$1mm$的方格纸上画了一个半径为$2cm$的圆，我算(shǔ)出圆中共有$1189$个格子，所以我们算出的圆周率是$2.9725$
虽然这个误差很大，但是，随着格子边长的缩小，我们的准确度就越高

法2：

有什么办法可以提高精度吗？有，如图，我们把圆分成细长的小条来求由于我太懒了，所以只画了3条

每一个小条的宽度是$\Delta x$，表示非常小的数值
这样，我们可以得出圆的面积$={\int }_{左端}^{右端}短条在x值对应的长度dx$
$dx$可以理解为$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x$
我做了一个实验，计算半径为$1cm$的圆，把它分成$N$个小条，制成一张表格

$N$	所有小条的总面积
$10$	$2.637049$
$20$	$2.904518$
$40$	$3.028465$
$200$	$3.120417$
$2000$	$3.139555$
$20000$	$3.141391$

可见$N$越来越大时，小条的总面积就会越接近圆的面积$\pi r^2$

椭圆

椭圆是由圆拉伸来的，所以我们也可以把它分成细长的短条来求，这个小条的面积就是圆的小条面积的$\frac{a}{b}$倍，所以，椭圆的面积就是$\pi ab$
$$\boxed{积分的要领3：把图形分解成长方形然后进行伸缩变换}$$

立体图形表面积和体积

祖暅定理

$$\boxed{积分的要领4：把图形看作被切割后的组合}$$
在外国称作卡瓦列利原理
截面面积总是相等的两个立体图形，体积也相等

三分之一之谜

$$\boxed{积分的要领5：灵活应用祖暅定理}$$
大家都知道圆锥的体积公式吧？体积$=$底面积$\times$高$\times \frac{1}{3}$
话说这个$\frac{1}{3}$是哪来的？
首先，我们从四棱锥说起
我们先把C点平移到A的正上方，使得$AC\perp$平面$ABD$（祖暅定理）

$\Downarrow$

这时，我们发现3个这样的椎体可以拼成一个长方形，因此，我们可以得到这个四棱锥的体积就是$\frac{1}{3}\times$底面积$\times$高
得到了四棱锥的体积之后，我们就可以计算任意椎体的体积了
我们把椎体的底面分成许多很小的长方形，所以每一个小四棱锥的体积相加就是椎体的体积了，也就等于$\frac{1}{3}\times$底面积$\times$高

球的体积

我们先做出一个立体图形，我把它称为钵体，它是一个圆柱再去掉一个圆锥后的图形

我们可以发现，它的每一个截面的面积和一个半球上的截面的面积相同，所以，根据祖暅定理，我们可以知道，球的体积$=2\times \frac{2}{3}\pi R^3=\times \frac{4}{3}\pi R^3$
$$\boxed{积分的要领6：寻找“有效的对应、关系条件”}$$

球的表面积

$$\boxed{积分的要领7：相比“纠结于细节”，“如何思考才能顺利计算”更优先}$$
我们把球的表面分成许多小的四棱锥，所以，我们可以得到球的体积$=\frac{1}{3}\times R\times$球的表面积
所以，我们可以得到球的表面积$=4\pi R^2$

终极问题——甜甜圈的体积

大家都知道甜甜圈吧？

我用软件画了一个甜甜圈，我们假设甜甜圈边上的圆心到中心的距离为$4cm$，半径为$2cm$，我们尝试水平切割，我们就可以得到一个个圆环
这些圆环的外圈的半径$=4+\sqrt{4-x^2}$，内圈的半径$=4-\sqrt{4-x^2}$，所以这个截面的面积$=16\pi \sqrt{4-x^2}$（$x$代表到圆心的距离）
由此，我们就可以表示出整个甜甜圈的体积就是${\int }_{-2}^{2}16\pi \sqrt{4-x^2}dx$这个积分是在不需要我们计算，我们只要画一个图就行了

积分相当于计算这个图形的面积，所以也就是${\int }_{-2}^{2}16\pi \sqrt{4-x^2}dx=16\pi \times 2\pi =32{\pi }^2$

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参考材料：
《简单微积分》神永正博 著