线段树详解

索引(Index)

在求一段区间的值，比如说求区间最大值，或要在某一段区间修改他们的值，那么我们就可以使用线段树(segment tree)实现。这种数据结构在大型OI比赛中常考，所以说掌握了线段树就可以在OI比赛中得到某题的高分。同时，线段树在日常生活中很实用，是一种算法的基础。

介绍(Introduction)

线段树，英文segment tree，顾名思义，它是一棵树，是一棵满二叉树。树上的每一个节点都代表着一段区间。线段树数据结构思想：二分思想(binary search)。首先根节点是整个区间，然后每一个节点的左儿子代表父节点区间的左半区间，右儿子代表父节点区间的右半区间，如下图。

我们可以用这棵树维护区间的很多东西，如最大值，区间和等。
时间复杂度: O(logn)

操作(Operations)

建造线段树(Build a segment tree)

方法：递归(recursion)。
维护两个指针l,r，如果l=r，那么就返回需要的值；否则将区间[l,r]分成两半继续递归。

伪代码

void build(线段树下标，指针)
{
    如果区间大小为1（即l,r指针相同） 记录值
    build(leftson);
    build(rightson);
    tree[下标]=max(tree[leftson],tree[rightson]);//假设现在要求的是区间最大值
}

代码(Code)

void build(int x,int l,int r)//假设现在要求的是区间最大值
{
    if (l==r)
    {
        tree[x]=a[l];
        return;
    }
    int wz=(l+r)/2;
    build(x*2,l,wz);
    build(x*2+1,wz+1,r);
    tree[x]=max(tree[x*2],tree[x*2+1]);
}

修改操作(Modify)

递归下去，如果发现指针一样，那么就修改，否则将区间分成两份，继续递归。

代码(Code)

void modify(int x,int l,int r,int xb,int val)
{
    if (l==r)
    {
        tree[x]=val;
        return;
    }
    int wz=(l+r)/2;
    if (xb<=wz) modify(x*2,l,wz,xb,val);
           else modify(x*2+1,wz+1,r,xb,val);
    tree[x]=max(tree[x*2],tree[x*2+1]);
}

查找操作(Find)

跟上面一样，找到了就退，没找到就将区间分成两份，继续递归。

代码(Code)

int find(int x,int l,int r,int xb)
{
    if (l==r)
    {
        return max(find,tree[x]);
    }
    int wz=(l+r)/2;
    if (xb<=wz) find(x*2,l,wz,xb);
           else find(x*2+1,wz+1,r,xb);
}

难点(Special difficulties)

如果修改的不是一个位置，而是一段区间，那又怎么办？
我们回去看到上面介绍线段树的那幅图，如果要求2-3区间的最大值，怎么办？无非就是求2-2和3-3的最大值吗？是的。
怎么实现不用暴力修改区间？
没事！再让tree数组开多一维，tree[1]记录值，tree[2]记录修改的数，这样防止在搜索更小的区间时出现错误，从而实现不用暴力修改区间。

实现方法(The way to achieve)

区间修改：在二分区间的时候顺便将要修改的区间也拆分掉（具体见下面的代码）。
Lazy标志：在修改的时候将tree[1]和tree[2]修改为要修改的数，然后后面递归的时候将tree[2]的值记录到tree[leftson][2],tree[rightson][2]里面，实现不用暴力修改区间。

代码(Code)

void modify(int x,int l,int r,int l1,int r1,int val)
{
    if (l==r)
    {
        tree[x][1]=tree[x][2]=val;
        return;
    }
    if (tree[s][2]!=-1)
    {
        tree[s*2][1]=tree[s][2];
        tree[s*2][2]=tree[s][2];
        tree[s*2+1][1]=tree[s][2];
        tree[s*2+1][2]=tree[s][2];
        tree[s][2]=-1;  //此时表示大区间修改完了。
    }
    int wz=(l+r)/2;
    if (r1<=wz) modify(x*2,l,wz,l1,r1,val);
        else if (l1>wz) modify(x*2+1,wz+1,r,l1,r1,val);
             else
             {
                  modify(x*2,l,wz,l1,wz,val);
                  modify(x*2+1,wz+1,r,wz+1,r1,val);
             }
    tree[x][1]=max(tree[x*2][1],tree[x*2+1][1]);
}

总结(Summaries)

如果题目问到要求区间或是什么的，就要想到线段树，线段树的代码其实很好打，不要因为怕长就放弃，想暴力。如果理解了，就马上学会了。