状态机模型

状态机模型

1. 算法分析

    能把不同的状态之间的关系使用状态机来表示，就可以使用状态机模型来处理，不同的状态之间有先后的时序。

2. 典型例题

acwing1049大盗阿福
题意： 阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
题解：
记f[i][0]:选择第i家店铺，但是不抢劫；f[i][1]:选择第i家店铺，进行抢劫
可以得到的状态机转移方程为：
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1])
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i]
边界状态为f[0][0] = 0, f[0][1] = -inf
代码：

#include
using namespace std;

int const N = 1e5 + 10;
int f[N][2];
int t, n;
int w[N];

int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        /* code */
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; ++i ) scanf("%d", &w[i]);
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 0, f[0][1] = 0xcf;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
        }
        printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
    }
    return 0;
}

acwing1057股票买卖IV
题意： 给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
题解：
0表示无，1表示有，f[i][j][0]表示在处理第i个物品时，进行了j次交易，这时已经没有货物了
f[i][j][1]表示在处理第i个物品时，进行了j次交易，这时已经还有货物
则有：
f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i]);
f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i]);
初始化时：
f[i][0][0]=0,其他不合法
代码：

#include
using namespace std;

int n, k;
int const N = 1e5 + 10;
int f[N][110][2];
int w[N];
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &w[i]);
    
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    for (int i = 0; i <= n; ++i) f[i][0][0] = 0;


    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= k; ++j)
        {
            f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i]);
            f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i]);
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= k; ++i) res = max(res, f[n][i][0]);
    cout << res << endl;
    return 0;
}

acwing1058 股票买卖 V
题意： 给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
* 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
* 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
题解：
f[i][0]处理第i次物品时，有货；f[i][1]处理第i次物品时，无货第一天；f[i][2]处理第i次物品时，无货第二天
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1]);
代码：

#include
using namespace std;

const int N = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int w[N];
int f[N][3];

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);

    f[0][0] = f[0][1] = -INF, f[0][2] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
        f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
        f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1]);
    }

    printf("%d\n", max(f[n][1], f[n][2]));

    return 0;
}