leetcode *面试题 08.11. 硬币

【题目】*面试题 08.11. 硬币（待研究）

*22. 括号生成
*46. 全排列
*95. 不同的二叉搜索树 II
401. 二进制手表

*322. 零钱兑换
*面试题 08.11. 硬币

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

 输入: n = 5
 输出：2
 解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

 输入: n = 10
 输出：4
 解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

说明：

注意:
0 <= n (总金额) <= 1000000

【解题思路1】动态规划

背包问题

求和公式到递推式的展开

二维数组优化为一维滚动数组

二维数组

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {

        if (n < 5)
            return 1;
        if (n == 5)
            return 2;
        int[] coins = {1, 5, 10, 25};
        int[][] dp = new int[4][n + 1];
        // 当数量为0，1时，有1种表示法
        for(int i = 0; i < 4; ++i){
             dp[i][0] = 1;
             dp[i][1] = 1;
        }  
        // 当只有一种硬币时，只有1种表示法
        for(int i = 0; i <=n; ++i)
            dp[0][i] = 1;
        /*
         * 状态：dp[i][j]表示[0...i]种硬币能组合为j的所有不同种数
         * 状态转移：取 或 不取 当前硬币coins[i]
         */
        for (int i = 1; i < 4; ++i) {
            for (int j = 2; j <= n; ++j) {
                if (j >= coins[i])
                    dp[i][j] = (dp[i][j - coins[i]] + dp[i - 1][j]) % 1000000007;
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[3][n];
    }
}

一维滚动数组
dp[0] = 1 可以理解为任何一种币值都有“一个都不放”的情况，而这种情况都是符合要求的。

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        int[] coins = new int[]{1,5,10,25};
        dp[0] = 1;
        //dp方程：dp[i] += dp[i - coin];
        for(int coin : coins) {
            for(int i = coin; i <= n; i++) {
                dp[i] = (dp[i] + dp[i - coin]) % 1000000007;
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
}

- 状态:dp[i] 表示总分为i的硬币的组合方法数
- 状态方程：dp[i] 总共可以由 dp[i-1],dp[i-5],dp[i-10],dp[i-25]这四种情况＋一枚硬币转换而来
- 因此 dp[i] += dp[i-j] (j=1, 5,10,25, i-j>=0)
- 边界条件,dp[0]=1, dp[1] += dp[0] = 1,
- 输出:dp[n]

两层循环顺序不可以调换，否则会有重复计算，如 1+1+1+1+1+5 和 1+1+1+1+5+1 被重复计算，但题目中看做是一种。
因为是按照硬币种类递增推倒的转换方程，每增加一种硬币,F[v] v={0,1,2,3…v} 都有了当前硬币种类数对应的值.
比如 只有1分的硬币时 F[v]有一套对应的值，当增加了一种硬币,比如5分硬币，对应的,F[v] v={0,1,2,3…v}的值将更新.
外层循环更新硬币种类数,内层循环更新F[v] v={0,1,2,3…v}的值，所以不能调换内外循环.

【解题思路2】数学 - 等差数列求和

class Solution {
    public int waysToChange(int n) {
        int ans = 0;
        int mod = 1000000007;
        for (int i = 0; i <= n / 25; i++) {
            int rest = n - i * 25;
            int p = rest / 5;
            int q = rest / 10;
            ans = ans + (p + 1)*(q + 1) % mod - q*(q + 1) % mod;
            ans %= mod;
        }
        return ans;
    }
}