数据结构（C）:拓扑排序和关键路径

1.拓扑排序

AOV（Activity On Vertices）网：有向图表示工程，顶点表示活动，有向边表示活动vi必须先于活动vj进行,其中vi是vj的直接前驱，vj是vi的直接后继。若从顶点vi到vk有一条路径，则vi是vk的前驱、vk是vi的后继；

用途：描述工程项目或系统进行的次序

拓扑排序：从一个AOV网中找出一条能表示所有事件先后次序的序列

构造方法1：

拓扑排序步骤：
Step1:在有向图中选一个无前驱的顶点输出之;
Step2:从有向图中删去此顶点及所有以它为尾的弧;
Step3:重复Step1,2到图中顶点全部输出，或图不空但找不到无前驱的顶点(有环)为止。
例：有向图G的弧表示课程进行先后关系，排一张课程先后次序表

算法：

 Staus TopologicalSort(AlGraph G)      // 有向图G采用邻接表存储
｛FindInDegree(G, indegree)   //对各顶点求入度indetree[0..vernum-1]
   initStack(s);
   for(i=0; inextarc)
         { k=p->adjvex;   //对i号顶点的每个邻接点的入度减1
            if(!(--indegree[k]))  push(S,k);  //若入度为0，则入栈   ｝
     ｝
       if(count

拓扑排序算法的时间复杂度为O(n+e)

构造方法2：

当有向图中无环时，也可以利用深度优先遍历进行拓扑排序，因为图中无环，则由图中某点出发进行深度优先搜索遍历时，最先退出DFS函数的顶点即出度为0的顶点，是拓扑有序序列中最后一个顶点 由此，按退出DFS函数的先后记录下来的顶点序列（如同求连通分量时finished数组中的顶点序列）即为逆向的拓扑有序序列

2.关键路径

AOE-网（Active On Edge）：在带权的有向无环图中，顶点表示事件,弧表示工程中的一个活动(如活动开始和结束)，弧上权值表示活动持续的时间。用来估算工程完成时间。
源点：入度为0的顶点。汇点：出度为0的顶点。
路径长度：AOE网中路径上各活动持续时间之和。
关键路径：路径长度最长的路径

事件vj的最早发生时间Ve(j)：从源点v0到vj的最长路径长度。
Ve(0)=Vl(0)=0;
Ve(j) = 从源点到顶点j的最长路径长度
Ve(k)=Max{Ve(j)+dut()}（k的前驱肯定不止一个）

活动ai的最早开始时间e(i)（活动i开始就是事件j）：是从源点v0到vj的最长路径长度。（因为时间j表示活动i可以开始）
活动ai的最迟开始时间l(i)：是不推迟工程完成的前提下，该活动允许的最迟开始时间。
e(i)= Ve(j);
l(i)=Vl(k)-dut()
活动ai时间余量：l(i)-e(i)
关键活动：l(i)=e(i)的活动。关键路径上的活动都是关键活动。
例：