平衡树、平衡二叉查找树、二叉排序树（查找树）

1、平衡树

（1）概念

平衡树左右子树的高度差的绝对值不超过1（左右子树的高度差为该结点的平衡因子，只能取-1,0,1），且其左右子树也是平衡树。

• 平衡因子=H左子树-H右子树，即使插入结点后不改变原二叉树的平衡性，平衡因子也会改变。

（2）向平衡树中插入结点时，该结点一定是插入在叶子结点上的。

（2）平衡树的调整

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于 1 的结点作为根的子树。假设用 A 表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

（ 1 ） LL 型平衡旋转法

由于在 A 的左孩子 B 的左子树上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 1 增至 2 而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将 A 的左孩子 B 向右上旋转代替 A 作为根结点， A 向右下旋转成为 B 的右子树的根结点。而原来 B 的右子树则变成 A 的左子树。

（ 2 ） RR 型平衡旋转法

由于在 A 的右孩子 C  的右子树上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 -1 减至 -2 而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将 A 的右孩子 C 向左上旋转代替 A 作为根结点， A 向左下旋转成为 C 的左子树的根结点。而原来 C 的左子树则变成 A 的右子树。

（ 3 ） LR 型平衡旋转法

由于在 A 的左孩子 B 的右子数上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 1 增至 2 而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将 A 结点的左孩子 B 的右子树的根结点D 向左上旋转提升到 B 结点的位置，然后再把该 D 结点向右上旋转提升到 A 结点的位置。即先使之成为 LL 型，再按 LL 型处理 。

如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到 A 的左子树上，此时成为 LL 型，再按 LL 型处理成平衡型。

（ 4 ） RL 型平衡旋转法

由于在 A 的右孩子 C 的左子树上插入结点 F ，使 A 的平衡因子由 -1 减至 -2 而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将 A 结点的右孩子 C 的左子树的根结点 D 向右上旋转提升到 C 结点的位置，然后再把该 D 结点向左上旋转提升到 A 结点的位置。即先使之成为 RR 型，再按 RR 型处理。

如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到 A 的左子树上，此时成为 RR 型，再按 RR 型处理成平衡型。

平衡化靠的是旋转。 参与旋转的是 3 个节点（其中一个可能是外部节点 NULL ），旋转就是把这 3 个节点转个位置。注意的是，左旋的时候 p->right 一定不为空，右旋的时候 p->left 一定不为空，这是显而易见的。

如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现 bf == 2 或者  bf == -2 的节点。

2、平衡二叉查找树

（1）左子树中所有节点的值小于根的值，右子树中的所有节点的值大于根的值，

         左右子树的高度之差的绝对值为0或1

（2）平衡二叉查找树=平衡二叉树+二叉查找树

3、最小二叉平衡树的节点

• 公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

  或者说深度为n的平衡二叉树，至少有F(n)个结点。（设n=6）
  Fibonacci(斐波那契)数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。注意：F(0)=0，F(1)=1。

  得知平衡二叉树的最少的结点的个数为15。而对于二叉树的最多的结点的个数是i2^h-1=31. 

  因而用排除法，得知是20

4、二叉排序树

中序遍历是递增的序列

对两棵具有相同关键字集合的而形状不同的二叉排序树,按中序遍历它们得到的序列的顺序却是一致的