数据结构与算法（C语言） | 拓扑排序、关键路径

拓扑排序

一个无环的有向图称为无环图（Directed Acyclic Graph），简称DAG图。

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称之为AOV网（Active On Vertex Network）。

AOV网不能存在回路！

拓扑序列：设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1,V2,……,Vn满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。

拓扑排序：所谓的拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。

假设有

这个表转换为AOV网是这样子：

 

可以得到拓扑序列（其中一种）：1,13,4,8,14,15,5,2,3,10,11,12,7,6,9

•对AOV网进行拓扑排序的方法和步骤如下：

–从AOV网中选择一个没有前趋的顶点（该顶点的入度为0）并且输出它；

–从网中删去该顶点，并且删去从该顶点发出的全部有向边；

–重复上述两步，直到剩余网中不再存在没有前趋的顶点为止。

用邻接表（因为需要删除顶点，所以我们选择邻接表会更加方便）数据结构表示：其中In是入度，下标代表上面的标记-1

// 边表结点声明
typedef struct EdgeNode
{
	int adjvex;
	struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;

// 顶点表结点声明
typedef struct VertexNode
{
	int in;			// 顶点入度
	int data;
	EdgeNode *firstedge;
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
	AdjList adjList;
	int numVertexes, numEdges;
}graphAdjList, *GraphAdjList;

// 拓扑排序算法
// 若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回OK，否则返回ERROR
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{
	EdgeNode *e;
	int i, k, gettop;
	int top = 0;		// 用于栈指针下标索引
	int count = 0;		// 用于统计输出顶点的个数
	int *stack;			// 用于存储入度为0的顶点
	
	stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));
	
	for( i=0; i < GL->numVertexes; i++ )
	{
		if( 0 == GL->adjList[i].in )
		{
			stack[++top] = i;	// 将度为0的顶点下标入栈
		}
	}
	
	while( 0 != top )
	{
		gettop = stack[top--];	// 出栈
		printf("%d -> ", GL->adjList[gettop].data);
		count++;				
		
		for( e=GL->adjList[gettop].firstedge; e; e=e->next )
		{
			k = e->adjvex;
			// 注意：下边这个if条件是分析整个程序的要点！
			// 将k号顶点邻接点的入度-1，因为他的前驱已经消除
			// 接着判断-1后入度是否为0，如果为0则也入栈
			if( !(--GL->adjList[k].in) )	
			{
				stack[++top] = k;
			}
		}
	}
	
	if( count < GL->numVertexes )	// 如果count小于顶点数，说明存在环
	{
		return ERROR;
	}
	else
	{
		return OK;
	}
}

 

 

•算法时间复杂度：

–对一个具有n个顶点，e条边的网来说，初始建立入度为零的顶点栈，要检查所有顶点一次，执行时间为O(n)。

–排序中，若AOV网无回路，则每个顶点入、出栈各一次，每个表结点被检查一次，因而执行时间是 O(n+e)。

–所以，整个算法的时间复杂度是 O(n+e)。

 

关键路径

AOE网：在一个表示工程的带权有向图无环中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity On Edge Network）。

 

   假设以AOE-网表示一个工程的施工流程图，每条弧表示一项子工程，弧上的权值表示完成该项子工程所需要的时间。

需要研究的问题是：

1)完成整个工程至少需要多少时间？

2)哪些子工程是“关键工程” ？即哪些子工程将影响整个工程的完成期限？

 

我们把AOE网中没有入边的顶点称为始点或源点，没有出边的顶点称为终点或汇点。

 

    从源点到汇点的最长路径称为关键路径，关键路径的长度是完成整个工程的最短时间。

    关键路径上的活动称为关键活动，关键活动是影响整个工程进度的关键。