在如上图所示的三维坐标系中,向量v的坐标可以分解为向量v与三个基向量的内积:
a = v ⋅ e 1 b = v ⋅ e 2 c = v ⋅ e 3 a=\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{1} \quad b=\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{2} \quad c=\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{3} a=v⋅e1b=v⋅e2c=v⋅e3
同时,向量v可以表示为三个基向量按照v的坐标的合成:
v = a e 1 + b e 2 + c e 3 \mathbf{v}=a \mathbf{e}_{1}+b \mathbf{e}_{2}+c \mathbf{e}_{3} v=ae1+be2+ce3
因此,只要获得了坐标系的基向量,坐标系中任何向量分解与合成都可以利用基向量表示。基向量是一组线性无关的向量组,如上图的三个两两正交的向量。
直观上,傅里叶变换也是建立了一个坐标系,坐标系的基两两正交(这将在下面做出证明),任何一个信号都可以用这个坐标系中的基来进行分解与合成:
e j ω t e^{j \omega t} ejωt即为这个坐标系下的基,不同ω下 e j ω t e^{j \omega t} ejωt两两正交(这将在下面做出证明),与上面两个公式类似,信号可以按照下面公式进行分解与合成:
分解:
X ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{j \omega t} d t=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t X(ω)=∫−∞+∞x(t)ejωtdt=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt
注意由于 e j ω t e^{j \omega t} ejωt是复指数,计算内积时应取共轭。
合成:
x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( ω ) e j ω t d ω x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{j \omega t} d \omega x(t)=∫−∞+∞X(ω)ejωtdω
我们分别约定ω和Ω分别代表连续时间域和离散时间域的频率。 e j ω t e^{j \omega t} ejωt和 e j Ω t e^{j\Omega t} ejΩt分别是连续时间域和离散时间域的指数信号,它们有着优秀的性质:
1.这是一个周期信号,最小周期T=2π/ω.由于 e 2 π j = 1 {e^{2\pi j}} = 1 e2πj=1,所以周期性很容易看出来:
e j ω t = e j ω ( t + k T ) = e j ω ( t + k 2 π ω ) e^{j \omega t}=e^{j \omega(t+k T)}=e^{j \omega\left(t+k \frac{2 \pi}{\omega}\right)} ejωt=ejω(t+kT)=ejω(t+kω2π)
根据上面的公式也不难看出来,ω越大,信号震荡的速率越高。
2.当 ∣ ω 1 ∣ |\omega_{1}| ∣ω1∣≠ ∣ ω 2 ∣ |\omega_{2}| ∣ω2∣时, e j ω 1 t e^{j \omega_{1} t} ejω1t和 e j ω 2 t e^{j \omega_{2} t} ejω2t正交。这是一个很重要的性质,下面做一个简单的证明:
考虑到 e j ω t e^{j \omega t} ejωt是周期信号,我们只需要证明他们在一个相同的周期内正交。假设T是这两个信号最小周期T1、T2的最小公倍数(其中, T 1 = 2 π / ω 1 T_{1}=2 \pi / \omega_{1} T1=2π/ω1, T 2 = 2 π / ω 2 T_{2}=2 \pi / \omega_{2} T2=2π/ω2).
T = k 1 T 1 = k 1 2 π ω 1 and T = k 2 T 2 = k 2 2 π ω 2 ( k 1 , k 2 ∈ Z + ) T=k_{1} T_{1}=k_{1} \frac{2 \pi}{\omega_{1}} \quad \text { and } \quad T=k_{2} T_{2}=k_{2} \frac{2 \pi}{\omega_{2}} \quad\left(k_{1}, k_{2} \in Z^{+}\right) T=k1T1=k1ω12π and T=k2T2=k2ω22π(k1,k2∈Z+)
要证明这两个信号正交,只需证明它们的内积为0。需要注意的是这两个信号是复指数,因此计算内积时需要计算后一个信号的共轭:
∫ 0 T e j ω 1 t e j ω 2 t d t = ∫ 0 T e j ( ω 1 − ω 2 ) t d t = 1 j ( ω 1 − ω 2 ) e j ( ω 1 − ω 2 ) t ∣ T 0 = 1 j ( ω 1 − ω 2 ) ( e j ( k 1 − k 2 ) 2 π − 1 ) = 0 \begin{array}{l}\int_{0}^{T} e^{j \omega_{1} t} e^{j \omega_{2} t} d t=\int_{0}^{T} e^{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t} d t=\frac{1}{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)} e^{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) t} | \begin{array}{l}T \\0\end{array} \\=\frac{1}{j\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)}\left(e^{j\left(k_{1}-k_{2}\right) 2 \pi}-1\right)=0\end{array} ∫0Tejω1tejω2tdt=∫0Tej(ω1−ω2)tdt=j(ω1−ω2)1ej(ω1−ω2)t∣T0=j(ω1−ω2)1(ej(k1−k2)2π−1)=0
上面公式并不难,就不做详解了。
1.并非对于所有的Ω来说, e j Ω t e^{j\Omega t} ejΩt是周期信号。仅当Ω/2π是有理数(即Ω/2π=m/N)的时候,才是周期信号。这是因为当Ω/2π=m/N时,有:
e j Ω n = e j Ω ( n + N ) = e j ( Ω n + 2 π m ) e^{j \Omega n}=e^{j \Omega(n+N)}=e^{j(\Omega n+2 \pi m)} ejΩn=ejΩ(n+N)=ej(Ωn+2πm)
2. e j Ω t e^{j\Omega t} ejΩt不是频率独立的(distinct),这是因为 e j Ω 0 n = e j ( Ω 0 ± 2 π k ) n {e^{j{\Omega _{\rm{0}}}n}} = {e^{j({\Omega _0} \pm 2\pi k)n}} ejΩ0n=ej(Ω0±2πk)n,所以 Ω 0 \Omega_{0} Ω0和 ( Ω 0 ± 2 π k ) (\Omega _0 \pm 2\pi k) (Ω0±2πk)对于信号的效果是一样的。
通过上面的直观理解,我们可以给出傅里叶变化的公式:
信号分解:
X ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} d t X(ω)=∫−∞+∞x(t)e−jωtdt
信号合成:
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( ω ) e j ω t d ω x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) e^{j \omega t} d \omega x(t)=2π1∫−∞+∞X(ω)ejωtdω
如果我们对信号的周期f更感兴趣,可以根据 f = 2 π / ω f=2 \pi / \omega f=2π/ω来用周期f代替频率ω:
信号分解:
X ( f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j 2 π f t d t X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} d t X(f)=∫−∞+∞x(t)e−j2πftdt
信号合成:
x ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ X ( f ) e j 2 π f t d f x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} d f x(t)=∫−∞+∞X(f)ej2πftdf
一个信号存在傅里叶变换需要满足 狄利克雷条件,它是一个充分不必要条件:
信号x(t)绝对可积。
∫ − ∞ + ∞ ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)| d t<\infty ∫−∞+∞∣x(t)∣dt<∞
在任何间隔内,信号x(t)的极大值和极小值的数目应是有限个。
在任何间隔内,信号x(t)连续或只有有限个第一类间断点。
中国大学慕课:数字图像处理与英语,浙江大学
A. V. Oppenheim, A. S. Willsky and I. T. Young,Signals and Systems, Prentice-Hall, 1983