你应该拿多少钱去投资?007-008

昨天重读了《通往财富自由之路》专栏第28周的文章《全部押上意味着什么》,文章提到了凯利判据(Kelly Criterion)。该公式适用于类似赌博那种输了就一点本金都拿不回来的场景,用于计算最优单次下注占比。公式的表达式如下:

f = [ p ( b+a ) - a] / b

公式也可以写成:

f = (pb + pa - a) / b = [pb - (1-p)a] /b

其中:

f - 合适下注占比

a - 单次下注金额

b - 每次下注a之后如果赢了可以拿回的净利

p - 赢的概率

举个例子。如果一次赌局,本金a = 1;赢了本金翻倍,即 b = 1;赢的概率为60%,即 p = 60%,那么:

f = [ 0.6 (1+1) -1] / 1 = 0.2。

也就是说,如果在一次要么赔光,要么翻倍的投资中,若是有60%的胜算,投资总资产的20%是最优解。换句话说,对理性的投资者来说,在这种情况下,投资20%已经相当于all in了。

那么,这个公式真的是可行的吗?

其实,求最优单次下注比可以理解为这样一个问题:

有一个赌局,每投入1份本金,赢的概率是p,赢的净收益是W,输的概率是 q = 1 - p,净损失为L。我们每次投入的比例是x,收益为f(x)。目标当然是收益最大化

我们可以得出收益的函数表达式为:

F(x) = (1+Wx)^p * (1-Lx)^q

也就是说,我们需要知道 f(x) 最大值的解。

对函数 f(x) 求导,令 f’(x) = 0 以解得极大值。

F’(x) = Wp(1+Wx)^(p-1) * (1-Lx)^q - Lq(1+Wx)^p * (1-Lx)^(q-1) = 0

简化得:

Wp/(1+Wx) - Lp/(1-Lx) = 0 

解得:

x = (Wp - Lq) / LW

当L = 1,即输了全赔的情况下,便得到凯利判据。

很多情况下,生活中许多事情都可以看做应用题,数学便是解开谜团的钥匙。如何把具体问题抽象出已知未知,并找到各种因素之间的关联,是我们需要刻意练习的。

反思自己,连曾经学过的求导都几乎忘记,更别说独自完成证明过程了。之前只是听说拿不超过自己资产的20%的闲钱来投资,但却从来没有想过为什么是20%。更没有想过,这些都是可以计算的,并且已经有人计算并完成了证明。认知的差别,让我还在黑灯瞎火里找不着方向处处碰壁时,别人已经发明了指南针绘制了地图向目标前进。

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